Dérivable sans dérivée continue

Exercice classique · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 6 — Limites, continuité, dérivabilité, convexité · C. Dérivabilité : calculs et raccordements

Énoncé

Soit $f (x) = x^{2} sin \frac{1}{x}$ pour $x \neq = 0$ , et $f (0) = 0$ . Montrer que $f$ est dérivable sur $R$ mais que $f^{'}$ n'est pas continue en $0$ .

Corrigé

En $0$ : le taux $\frac{f ( x )}{x} = x sin \frac{1}{x} \to 0$ (borné × nul), donc $f$ est dérivable en $0$ et $f^{'} (0) = 0$ . Pour $x \neq = 0$ : $f^{'} (x) = 2 x sin \frac{1}{x} - cos \frac{1}{x} .$ Le premier terme tend vers $0$ , mais $cos \frac{1}{x}$ n'a pas de limite en $0$ (suites $x_{n} = \frac{1}{2 nπ}$ et $y_{n} = \frac{1}{( 2 n + 1 ) π}$ : valeurs $1$ et $- 1$ ). Donc $f^{'}$ n'a pas de limite en $0$ : $f$ est dérivable partout mais pas de classe $C^{1}$ .

Conséquence : la réciproque du théorème de la limite de la dérivée est fausse.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.