Soient A, B, C les angles d'un triangle (A + B + C = π). Montrer que :…

Stratégie : l'inégalité de Jensen appliquée à une fonction concave. Une somme de $n$ valeurs d'une même fonction, avec une contrainte sur la somme des arguments, est le cadre exact de Jensen : la moyenne des images est majorée par l'image de la moyenne, et la moyenne des arguments est imposée par la contrainte.

1) Le sinus est concave sur $[0,\pi ]$. La fonction $\sin$ est deux fois dérivable et $${\sin }^{\prime \prime }=-\sin ⩽0\text{sur }[0,\pi ],$$ puisque le sinus y est positif. Donc $\sin$ est concave sur $[0,\pi ]$ — et même strictement concave sur l'ouvert $]0,\pi [$, où ${\sin }^{\prime \prime }=-\sin <0$. Retenons les deux, la seconde servira pour le cas d'égalité.

2) Jensen. Les angles d'un triangle vérifient $A,B,C\in ]0,\pi [$ et $A+B+C=\pi$. L'inégalité de Jensen pour une fonction concave, avec les poids égaux $\frac{1}{3}$, donne $$\frac{\sin A+\sin B+\sin C}{3}⩽\sin \left(\frac{A+B+C}{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ En multipliant par $3$ : $$\boxed{\sin A+\sin B+\sin C⩽\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 2,598}$$

3) Le cas d'égalité. Sur $]0,\pi [$ le sinus est strictement concave, et l'inégalité de Jensen est alors une égalité si et seulement si tous les arguments sont égaux, c'est-à-dire $$A=B=C=\frac{\pi }{3}.$$ L'égalité caractérise donc le triangle équilatéral, et l'on vérifie : $3\sin \frac{\pi }{3}=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ ✓.

⚠️ Le point délicat : c'est la concavité STRICTE qui donne le cas d'égalité, et il faut la vérifier séparément. Avec une concavité au sens large, l'égalité peut se produire ailleurs qu'aux points égaux — pour une fonction affine, par exemple, Jensen est une égalité pour tous les arguments, sans exception. Ici il faut donc constater ${\sin }^{\prime \prime }=-\sin <0$ strictement, ce qui exige de travailler sur l'intervalle ouvert $]0,\pi [$ : en $0$ et en $\pi$, ${\sin }^{\prime \prime }=0$ et l'argument tomberait. Heureusement, les angles d'un vrai triangle sont strictement compris entre $0$ et $\pi$ — un angle nul ou plat donnerait un triangle aplati, c'est-à-dire pas un triangle.

Contrôle. Le triangle équilatéral donne $3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=2,5980762$, exactement la borne ✓. Le triangle rectangle isocèle $\left(\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right)$ donne $1+2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2,4142<2,5981$ ✓. Un balayage aléatoire de $400000$ triplets $(A,B,C)$ d'angles admissibles rend un maximum de $2,5980760$, atteint en $(59,99^{\circ },60,03^{\circ },59,98^{\circ })$ : la borne est correcte, et elle n'est approchée qu'au voisinage de l'équilatéral ✓.

Ce que l'exercice installe, et c'est joli. Par la loi des sinus, le côté opposé à l'angle $A$ dans un triangle inscrit dans un cercle de rayon $R$ vaut $a=2R\sin A$. L'inégalité se relit donc $$\text{peˊrimeˋtre}=2R\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)⩽3\sqrt{3}R,$$ c'est-à-dire : parmi tous les triangles inscrits dans un cercle donné, l'équilatéral est celui de plus grand périmètre, et ce périmètre vaut $3\sqrt{3}R$. Un problème d'optimisation géométrique résolu sans aucune géométrie, par la seule concavité d'une fonction — c'est tout le pouvoir de Jensen, qu'on retrouvera pour l'inégalité arithmético-géométrique (n° 12), celle de Young et celle de Hölder.