La fonction plateau : $e^{-1/x}$ est ${\mathcal{C}}^{\infty }$

La stratégie. Tout est facile sauf en $0$, et en $0$ on applique le théorème de la limite de la dérivée — à chaque ordre. Pour cela il faut connaître la forme des dérivées successives à droite de $0$, et c'est la récurrence du b) qui la donne ; les croissances comparées font le reste.

a) Classe ${\mathcal{C}}^1$. Continuité en $0$. À gauche, $f$ est nulle. À droite, quand $x\to 0^{+}$, $-\frac{1}{x}\to -\infty$, donc $f(x)=e^{-1/x}\to 0=f(0)$. Les deux limites latérales valent $f(0)$ : $f$ est continue en $0$, et elle est continue ailleurs comme fonction usuelle ou nulle.

Dérivée hors de $0$. Sur $]-\infty ,0[$, $f^{\prime }=0$. Sur $]0,+\infty [$, par dérivation de la composée, $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2}{e}^{-1/x}$.

Limite de la dérivée en $0$. À gauche, $f^{\prime }=0\to 0$. À droite, posons $u=\frac{1}{x}\to +\infty$ : $f^{\prime }(x)=u^2{e}^{-u}\to 0$ par croissances comparées. Donc $f^{\prime }(x)\to 0$ quand $x\to 0$, $x\ne 0$.

Conclusion. $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, dérivable sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$, et $f^{\prime }$ admet la limite finie $0$ en $0$ : par le théorème de la limite de la dérivée, $f$ est dérivable en $0$ avec $f^{\prime }(0)=0$, et $f^{\prime }$ est continue en $0$. $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\mathbb{R}$.

Le point délicat. L'hypothèse de continuité en $0$ n'est pas décorative : le théorème l'exige, et sans elle il est faux — la fonction valant $0$ pour $x\le 0$ et $1$ pour $x>0$ a une dérivée nulle de part et d'autre, donc de limite $0$, sans être dérivable en $0$.

b) La forme des dérivées. Montrons par récurrence sur $n$ la propriété : « il existe un polynôme $P_n$ tel que $f^{(n)}(x)=P_n\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x}$ pour tout $x>0$ ». Pour $n=0$, $P_0=1$ convient. Supposons-la vraie au rang $n$. Pour $x>0$, dérivons le produit : $$f^{(n+1)}(x)=\left(-\frac{1}{x^2}\right)P_n^{\prime }\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x}+P_n\left(\frac{1}{x}\right)\cdot \frac{1}{x^2}{e}^{-1/x}=\frac{1}{x^2}\left(P_n\left(\frac{1}{x}\right)-P_n^{\prime }\left(\frac{1}{x}\right)\right)e^{-1/x}.$$ En posant $P_{n+1}(t)=t^2(P_n(t)-P_n^{\prime }(t))$, qui est un polynôme, on obtient $f^{(n+1)}(x)=P_{n+1}\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x}$. La propriété est héréditaire. On a par exemple $P_1(t)=t^2$ et $P_2(t)=t^2(t^2-2t)=t^4-2t^3$, ce qu'on vérifie en dérivant $f^{\prime }(x)=x^{-2}{e}^{-1/x}$ : $f^{\prime \prime }(x)=\left(x^{-4}-2x^{-3}\right)e^{-1/x}$.

c) Classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$. Montrons par récurrence sur $n$ que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^n$ sur $\mathbb{R}$, avec $f^{(n)}=0$ sur $]-\infty ,0]$ (en particulier $f^{(n)}(0)=0$). C'est le a) pour $n=1$ (et immédiat pour $n=0$). Supposons-le vrai au rang $n$. Alors $f^{(n)}$ est continue sur $\mathbb{R}$, dérivable sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$, de dérivée $f^{(n+1)}$ nulle sur $]-\infty ,0[$ et égale à $P_{n+1}\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x}$ sur $]0,+\infty [$. Quand $x\to 0^{+}$, avec $u=\frac{1}{x}\to +\infty$, $P_{n+1}(u)e^{-u}$ est une somme finie de termes $c_k{u}^k{e}^{-u}$, chacun de limite nulle par croissances comparées : $f^{(n+1)}(x)\to 0$. À gauche, $f^{(n+1)}=0\to 0$. Le théorème de la limite de la dérivée, appliqué à $f^{(n)}$, montre que $f^{(n)}$ est dérivable en $0$, avec $f^{(n+1)}(0)=0$, et que $f^{(n+1)}$ est continue en $0$ — donc sur $\mathbb{R}$, sa continuité ailleurs étant claire. Ainsi $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{n+1}$ avec $f^{(n+1)}=0$ sur $]-\infty ,0]$. Par récurrence, $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$ et $f^{(n)}(0)=0$ pour tout $n$.

Ce que cela signifie. Toutes les dérivées de $f$ en $0$ sont nulles, comme celles de la fonction nulle — et pourtant $f$ n'est nulle sur aucun intervalle $]0,\epsilon [$. Les dérivées en un point ne déterminent pas la fonction au voisinage de ce point : le chapitre sur l'analyse asymptotique le redira sous la forme « le développement limité en $0$ de $f$ à tout ordre est nul, et $f$ n'est pas nulle ».

d) La fonction plateau. L'application $x\mapsto f(1-x)$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ comme composée de $f$ et de la fonction affine $x\mapsto 1-x$ ; le produit $\psi$ de deux fonctions ${\mathcal{C}}^{\infty }$ est ${\mathcal{C}}^{\infty }$ (opérations sur les fonctions de classe ${\mathcal{C}}^k$). Comme l'exponentielle ne s'annule pas, $f(x)=0$ si et seulement si $x\le 0$, et $f(x)>0$ si et seulement si $x>0$. Donc $\psi (x)=0$ si et seulement si $x\le 0$ ou $1-x\le 0$, c'est-à-dire $x\notin ]0,1[$ ; et sur $]0,1[$, les deux facteurs sont strictement positifs. $\psi$ est ${\mathcal{C}}^{\infty }$, nulle hors de $]0,1[$, strictement positive dedans.

Ce que l'exercice installe. La méthode de raccordement en quatre temps — continuité au point, dérivée de part et d'autre, limite de la dérivée, conclusion par le théorème — et sa version à tout ordre, où l'ingrédient nouveau est une récurrence sur la forme des dérivées. Et un objet fondamental : la fonction plateau, brique de base de toutes les constructions « à support » de l'analyse, qui permet de fabriquer des fonctions ${\mathcal{C}}^{\infty }$ valant $1$ sur un intervalle et $0$ hors d'un intervalle un peu plus grand.