mathématiques MPSI · Chapitre 6 · Application directe du cours

TVI et équation

Limites, continuité, dérivabilité, convexité · B. Continuité et grands théorèmes · niveau 1 (application)

Énoncé

Montrer que l'équation $x = cos x$ admet une unique solution dans $R$ , située dans $] 0, \frac{π}{2} [$ .

Corrigé

Posons $g (x) = x - cos x$ , continue sur $R$ . On a $g (0) = - 1 < 0$ et $g (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} > 0$ : par le TVI, $g$ s'annule en un point de $] 0, \frac{π}{2} [$ .

Unicité : $g^{'} (x) = 1 + sin x \geq 0$ , nulle seulement en des points isolés : $g$ est strictement croissante sur $R$ , donc injective — l'équation a au plus une solution.

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