mathématiques MPSI · Chapitre 6 · Exercice de TD

Problème — Le théorème de Darboux : une dérivée ne saute jamais

Limites, continuité, dérivabilité, convexité · G. Problèmes et approfondissements · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ , et $a < b$ deux points de $I$ tels que $f^{'} (a) < f^{'} (b)$ . Soit $y$ un réel tel que $f^{'} (a) < y < f^{'} (b)$ . On pose $g (x) = f (x) - y x$ pour $x \in I$ .

1) Montrer que $g$ est dérivable sur $I$ , calculer $g^{'}$ , et vérifier que $g^{'} (a) < 0 < g^{'} (b)$ .

2) À partir de la seule définition de $g^{'} (a)$ par le taux d'accroissement, montrer qu'il existe $h > 0$ tel que $a + h \leq b$ et $g (a + h) < g (a)$ . Montrer de même qu'il existe $h^{'} > 0$ tel que $b - h^{'} \geq a$ et $g (b - h^{'}) < g (b)$ .

3) Justifier que $g$ atteint sa borne inférieure sur $[a, b]$ en un point $c$ , et que $c \in] a, b [$ .

4) En déduire que $f^{'} (c) = y$ . Énoncer le théorème obtenu, et dire en quoi il diffère du théorème des valeurs intermédiaires appliqué à $f^{'}$ .

5) Conséquences : (i) montrer qu'il n'existe aucune fonction dérivable sur $R$ dont la dérivée soit la fonction signe, ni plus généralement aucune fonction dérivable sur un intervalle dont la dérivée ne prenne que deux valeurs ; (ii) montrer que si $f^{'}$ ne s'annule pas sur $I$ , alors $f$ est strictement monotone sur $I$ .

6) Soit $φ (x) = x^{2} sin \frac{1}{x}$ pour $x \neq = 0$ et $φ (0) = 0$ . Montrer que $φ$ est dérivable sur $R$ , que $φ^{'}$ n'est pas continue en $0$ , et vérifier que $φ^{'}$ prend cependant toute valeur de $] - 1, 1 [$ sur tout intervalle $] 0, ε [$ : le théorème n'est pas contredit, et la réciproque du théorème de la limite de la dérivée est fausse.

Corrigé de la question 1

1) La fonction auxiliaire. $g$ est la différence de $f$ , dérivable sur $I$ , et de la fonction affine $x \mapsto y x$ : elle est dérivable sur $I$ , avec $g^{'} (x) = f^{'} (x) - y$ . Par choix de $y$ : $g^{'} (a) = f^{'} (a) - y < 0$ et $g^{'} (b) = f^{'} (b) - y > 0$ . Chercher $c$ tel que $f^{'} (c) = y$ , c'est chercher un zéro de $g^{'}$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Comme $g^{'} (a) < 0$ , la fonction $g$ est décroissante au voisinage de $a$ , donc $g (a + h) < g (a)$ pour $h > 0$ assez petit.

C'est justement le piège : $g^{'} (a) < 0$ ne donne aucune monotonie sur un voisinage, car on ne sait rien de $g^{'}$ ailleurs qu'en $a$ . L'énoncé impose de partir du taux d'accroissement : que dit la définition de sa limite en $a$ ?

Élève

Le taux $\frac{g ( x ) - g ( a )}{x - a}$ tend vers $g^{'} (a)$ , qui est strictement négatif. Donc pour $x$ proche de $a$ , il devrait être négatif aussi, mais il faut le quantifier.

Quel $ε > 0$ , exprimé à l'aide de $g^{'} (a)$ , garantit que le taux reste strictement négatif sur un voisinage ? Puis comment choisis-tu $h$ pour assurer aussi $a + h \leq b$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →