Jensen et les trois moyennes

La stratégie. Le logarithme est strictement concave ; l'inégalité de Jensen, appliquée avec des poids égaux, compare le logarithme de la moyenne à la moyenne des logarithmes — et l'exponentielle, croissante, transporte la comparaison. Pour le cas d'égalité, que Jensen tel qu'énoncé dans le cours ne donne pas, on utilise la tangente au point moyen.

a) L'inégalité arithmético-géométrique. Notons $m=\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}>0$. La fonction $\ln$ est deux fois dérivable sur $]0,+\infty [$ avec ${\ln }^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$ : elle est concave. L'inégalité de Jensen pour la fonction convexe $-\ln$, avec les poids ${\lambda }_i=\frac{1}{n}$ (positifs, de somme $1$), donne $-\ln m\le -\frac{1}{n}\sum \ln x_i$, soit $$\ln m\ge \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\ln x_i=\frac{1}{n}\ln (x_1\cdots x_n)=\ln \left((x_1\cdots x_n{)}^{1/n}\right).$$ L'exponentielle est croissante, donc $m\ge (x_1\cdots x_n{)}^{1/n}$ : c'est l'inégalité.

Le cas d'égalité. Reprenons par la tangente. La concavité de $\ln$ place son graphe sous sa tangente en $1$ : $\ln t\le t-1$ pour tout $t>0$, avec égalité si et seulement si $t=1$ (la fonction $t\mapsto t-1-\ln t$ a pour dérivée $1-\frac{1}{t}$, négative avant $1$, positive après : elle est strictement décroissante puis strictement croissante, nulle en $1$ seulement). Appliquons-la à $t=\frac{x_i}{m}$ et sommons : $$\sum _{i=1}^n\ln \frac{x_i}{m}\le \sum _{i=1}^n\left(\frac{x_i}{m}-1\right)=\frac{nm}{m}-n=0.$$ Le membre de gauche vaut $\ln (x_1\cdots x_n)-n\ln m$ : on retrouve l'inégalité, et cette fois l'égalité a lieu si et seulement si chaque terme est nul, c'est-à-dire $x_i=m$ pour tout $i$ — si et seulement si tous les $x_i$ sont égaux. (C'est Jensen en acte : la tangente au point moyen majore la fonction concave en chacun des $x_i$, et l'égalité force chaque $x_i$ au point de tangence.)

b) La moyenne harmonique. Appliquons le a) aux réels strictement positifs $\frac{1}{x_1},\dots ,\frac{1}{x_n}$ : $${\left(\frac{1}{x_1}\cdots \frac{1}{x_n}\right)}^{1/n}\le \frac{1}{n}\left(\frac{1}{x_1}+\cdots +\frac{1}{x_n}\right),\text{soit}\frac{1}{(x_1\cdots x_n{)}^{1/n}}\le \frac{\frac{1}{x_1}+\cdots +\frac{1}{x_n}}{n}.$$ En inversant, ce qui renverse l'inégalité entre réels strictement positifs : $$\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\cdots +\frac{1}{x_n}}\le (x_1\cdots x_n{)}^{1/n},$$ avec égalité si et seulement si les $\frac{1}{x_i}$ sont tous égaux, c'est-à-dire les $x_i$. On tient la chaîne moyenne harmonique $\le$ moyenne géométrique $\le$ moyenne arithmétique, chacune avec le même cas d'égalité.

c) Le cube. Un parallélépipède rectangle d'arêtes $x,y,z>0$ a pour volume $V=xyz$ et pour surface $S=2(xy+yz+zx)$. Appliquons le a) aux trois réels $xy$, $yz$, $zx$ : $$\frac{xy+yz+zx}{3}\ge \sqrt[3]{xy\cdot yz\cdot zx}=\sqrt[3]{x^2{y}^2{z}^2}=V^{2/3}.$$ Donc $S\ge 6V^{2/3}$, avec égalité si et seulement si $xy=yz=zx$. De $xy=yz$ on tire $x=z$, de $yz=zx$ on tire $y=x$ : les trois arêtes sont égales, et valent $V^{1/3}$. À volume fixé, le cube est le parallélépipède rectangle de surface minimale, et cette surface vaut $6V^{2/3}$ — la surface du cube.

Ce que l'exercice installe. La convexité est une usine à inégalités : une seule fonction concave, appliquée à des points bien choisis, range les trois moyennes et résout un problème d'optimisation géométrique sans aucune géométrie. Le geste du cas d'égalité — la tangente au point moyen — est celui qu'on refera pour les inégalités de Young et de Hölder, et l'inégalité arithmético-géométrique elle-même reviendra au chapitre des espaces préhilbertiens, à côté de Cauchy–Schwarz.