Le théorème des cordes universelles

La stratégie. Le schéma complet des théorèmes d'existence : une égalité à obtenir → une fonction auxiliaire dont c'est un zéro → théorème des valeurs intermédiaires. L'ingrédient propre à cet exercice : obtenir deux valeurs de signes contraires sans connaître aucun signe, par une somme télescopique nulle.

a) La corde de longueur $\frac{1}{2}$. Posons, pour $x\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$, $g(x)=f\left(x+\frac{1}{2}\right)-f(x)$. Elle est bien définie ($x+\frac{1}{2}\in \left[\frac{1}{2},1\right]$) et continue sur $\left[0,\frac{1}{2}\right]$, comme différence de composées de fonctions continues. Ce qu'on cherche est un zéro de $g$.

On ne sait rien du signe de $g(0)$ ni de celui de $g\left(\frac{1}{2}\right)$. Mais leur somme se télescope : $$g(0)+g\left(\frac{1}{2}\right)=(f\left(\frac{1}{2}\right)-f(0))+(f(1)-f\left(\frac{1}{2}\right))=f(1)-f(0)=0,$$ grâce à l'hypothèse $f(0)=f(1)$ — c'est le seul endroit où elle sert. Donc $g\left(\frac{1}{2}\right)=-g(0)$. Si $g(0)=0$, alors $c=0$ convient. Sinon, $g(0)$ et $g\left(\frac{1}{2}\right)$ sont de signes stricts opposés, et le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à $g$, continue sur $\left[0,\frac{1}{2}\right]$, fournit $c\in \left]0,\frac{1}{2}\right[$ tel que $g(c)=0$, c'est-à-dire $f\left(c+\frac{1}{2}\right)=f(c)$.

b) Les cordes de longueur $\frac{1}{n}$. Posons cette fois $g(x)=f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)$ sur $\left[0,1-\frac{1}{n}\right]$, continue. Évaluons-la aux $n$ points $0,\frac{1}{n},\frac{2}{n},\dots ,\frac{n-1}{n}$ et additionnons : $$\sum _{k=0}^{n-1}g\left(\frac{k}{n}\right)=\sum _{k=0}^{n-1}\left(f\left(\frac{k+1}{n}\right)-f\left(\frac{k}{n}\right)\right)=f(1)-f(0)=0,$$ par télescopage. Une somme de $n$ réels est nulle : ou bien l'un d'eux est nul — et le point correspondant convient — ou bien deux d'entre eux, $g\left(\frac{i}{n}\right)$ et $g\left(\frac{j}{n}\right)$ avec $i<j$, sont de signes stricts opposés (s'ils étaient tous non nuls et de même signe, la somme ne serait pas nulle). Le théorème des valeurs intermédiaires sur $\left[\frac{i}{n},\frac{j}{n}\right]$ fournit alors $c$ tel que $g(c)=0$. Pour tout $n\ge 1$, il existe une corde horizontale de longueur $\frac{1}{n}$.

Le point délicat. On ne connaît le signe d'aucune valeur de $g$, et l'on n'en a pas besoin : c'est un raisonnement global sur une somme, non un calcul. Chercher à évaluer $g$ en un point précis est une impasse, puisque $f$ est quelconque.

c) Les autres longueurs échouent. Vérifions d'abord $f(0)=f(1)$ : $f(0)={\sin }^{2}0-0=0$ et $f(1)={\sin }^2\left(\frac{\pi }{\alpha }\right)-{\sin }^2\left(\frac{\pi }{\alpha }\right)=0$. La fonction $f$ est continue sur $[0,1]$ et satisfait donc les hypothèses du théorème. Calculons maintenant, pour $x\in [0,1-\alpha ]$, $$f(x+\alpha )-f(x)={\sin }^2\left(\frac{\pi x}{\alpha }+\pi \right)-{\sin }^2\left(\frac{\pi x}{\alpha }\right)-\alpha {\sin }^2\left(\frac{\pi }{\alpha }\right).$$ Or $\sin (t+\pi )=-\sin t$, donc ${\sin }^2(t+\pi )={\sin }^{2}t$ : les deux premiers termes s'annulent, et $$f(x+\alpha )-f(x)=-\alpha {\sin }^2\left(\frac{\pi }{\alpha }\right).$$ C'est une constante, et elle est nulle si et seulement si $\sin \left(\frac{\pi }{\alpha }\right)=0$, c'est-à-dire $\frac{\pi }{\alpha }\in \pi \mathbb{Z}$, c'est-à-dire $\frac{1}{\alpha }\in \mathbb{Z}$ — et comme $\frac{1}{\alpha }>1$, si et seulement si $\frac{1}{\alpha }\in \mathbb{N}$. Par hypothèse ce n'est pas le cas : la constante est non nulle, et $f(c+\alpha )=f(c)$ n'a aucune solution. Par exemple, pour $\alpha =\frac{2}{3}$ : $f(x)={\sin }^2\left(\frac{3\pi x}{2}\right)-x$, et $f(x+\frac{2}{3})-f(x)=-\frac{2}{3}$ pour tout $x$.

Le théorème obtenu est celui des cordes universelles (Paul Lévy, 1934) : les longueurs $\ell \in ]0,1]$ telles que toute fonction continue sur $[0,1]$ avec $f(0)=f(1)$ admette une corde horizontale de longueur $\ell$ sont exactement les $\frac{1}{n}$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Ce que l'exercice installe. D'abord le schéma « égalité → fonction auxiliaire → TVI », qui est celui du théorème du point fixe et celui de Rolle. Ensuite l'idée qu'un contre-exemple fait partie du théorème : le b) sans le c) laisserait croire que toutes les longueurs marchent, et c'est faux. (Lecture : $f$ est le profil d'altitude d'une randonnée qui revient à son point de départ ; il y a toujours deux points distants d'une demi-étape à la même altitude, mais pas nécessairement deux points distants de deux tiers d'étape.)