Une fonction convexe est continue à l'intérieur

La stratégie. La convexité est une inégalité algébrique — aucune hypothèse de continuité ni de dérivabilité. Pourtant elle impose de la régularité : la croissance des pentes coince le taux d'accroissement en $x_0$ entre deux pentes fixes, ce qui donne la continuité, et rend ce taux monotone, ce qui donne les dérivées latérales.

a) Les trois pentes. Soient $u<v<w$ dans $I$. Écrivons $v$ comme barycentre de $u$ et $w$ : $v=(1-\lambda )u+\lambda w$ avec $\lambda =\frac{v-u}{w-u}\in ]0,1[$. La convexité donne $f(v)\le (1-\lambda )f(u)+\lambda f(w)$, soit $f(v)-f(u)\le \lambda (f(w)-f(u))$. En divisant par $v-u=\lambda (w-u)>0$ : $$p(u,v)=\frac{f(v)-f(u)}{v-u}\le \frac{f(w)-f(u)}{w-u}=p(u,w).$$ De même, $f(w)-f(v)\ge (1-\lambda )(f(w)-f(u))$ (car $f(w)-f(v)=f(w)-f(u)-(f(v)-f(u))$), et en divisant par $w-v=(1-\lambda )(w-u)>0$ : $p(v,w)\ge p(u,w)$. D'où $p(u,v)\le p(u,w)\le p(v,w)$ : la pente de la corde croît quand on déplace ses extrémités vers la droite.

b) Le taux d'accroissement est coincé. Soit $x\in ]x_0,b[$. L'inégalité des trois pentes pour $a<x_0<x$ donne $p(a,x_0)\le p(a,x)\le p(x_0,x)$ ; pour $x_0<x<b$, elle donne $p(x_0,x)\le p(x_0,b)\le p(x,b)$. En ne gardant que ce qui nous intéresse : $$p(a,x_0)\le p(x_0,x)\le p(x_0,b).$$ Soit maintenant $x\in ]a,x_0[$. Pour $a<x<x_0$ : $p(a,x)\le p(a,x_0)\le p(x,x_0)$ ; pour $x<x_0<b$ : $p(x,x_0)\le p(x,b)\le p(x_0,b)$. D'où $$p(a,x_0)\le p(x,x_0)\le p(x_0,b).$$ Dans les deux cas, la pente de la corde entre $x_0$ et $x$ est comprise entre deux constantes $p(a,x_0)$ et $p(x_0,b)$, qui ne dépendent pas de $x$. Sa valeur absolue est donc majorée par $M$, et $$|f(x)-f(x_0)|=|p(x_0,x)|\cdot |x-x_0|\le M|x-x_0|\text{pour tout }x\in ]a,b[.$$

c) Continuité. La majoration précédente donne $f(x)\to f(x_0)$ quand $x\to x_0$ : $f$ est continue en $x_0$ — et même lipschitzienne sur $]a,b[$. Le point $x_0$ intérieur étant quelconque, $f$ est continue sur l'intérieur de $I$.

d) Les dérivées latérales. Montrons que $\pi :x\mapsto p(x_0,x)$ est croissante sur $I\setminus \{x_0\}$. Soient $x<x^{\prime }$ dans $I\setminus \{x_0\}$ ; trois positions possibles pour $x_0$, et à chaque fois l'inégalité des trois pentes conclut. Si $x<x^{\prime }<x_0$ : $p(x,x^{\prime })\le p(x,x_0)\le p(x^{\prime },x_0)$, donc $\pi (x)\le \pi (x^{\prime })$. Si $x<x_0<x^{\prime }$ : $p(x,x_0)\le p(x,x^{\prime })\le p(x_0,x^{\prime })$, donc $\pi (x)\le \pi (x^{\prime })$. Si $x_0<x<x^{\prime }$ : $p(x_0,x)\le p(x_0,x^{\prime })\le p(x,x^{\prime })$, donc $\pi (x)\le \pi (x^{\prime })$. La fonction pente issue de $x_0$ est croissante.

Sur $I\cap ]-\infty ,x_0[$, la fonction $\pi$ est donc croissante, et majorée par $p(x_0,b)$ (cas $x<x_0<b$ ci-dessus) : par le théorème de la limite monotone, elle admet en $x_0$ une limite à gauche finie. Cette limite est, par définition, la dérivée à gauche $f_g^{\prime }(x_0)$. Sur $I\cap ]x_0,+\infty [$, $\pi$ est croissante et minorée par $p(a,x_0)$ : elle admet en $x_0$ une limite à droite finie, la dérivée à droite $f_d^{\prime }(x_0)$. Enfin, pour $x<x_0<x^{\prime }$, on a $\pi (x)\le \pi (x^{\prime })$ ; en faisant tendre $x$ vers $x_0^{-}$ puis $x^{\prime }$ vers $x_0^{+}$ dans cette inégalité large : $f_g^{\prime }(x_0)\le f_d^{\prime }(x_0)$.

Lecture. Une fonction convexe est dérivable à gauche et à droite en tout point intérieur, et ne peut avoir que des « points anguleux » où la pente augmente en passant de gauche à droite — jamais l'inverse. Elle est dérivable en $x_0$ exactement quand $f_g^{\prime }(x_0)=f_d^{\prime }(x_0)$ ; la valeur absolue en $0$ montre que l'égalité peut manquer.

e) Au bord, tout tombe. Soit $f$ définie sur $[0,1]$ par $f(0)=1$ et $f(x)=0$ pour $x\in ]0,1]$. Elle est convexe : soient $x,y\in [0,1]$ et $\lambda \in [0,1]$, et $m=(1-\lambda )x+\lambda y$. Si $m>0$, alors $f(m)=0\le (1-\lambda )f(x)+\lambda f(y)$, le membre de droite étant positif. Si $m=0$, alors ou bien $\lambda \in \{0,1\}$ et l'inégalité est une égalité triviale ($f(m)=f(x)$ ou $f(y)$), ou bien $0<\lambda <1$ et $m=0$ force $x=y=0$, auquel cas les deux membres valent $1$. Pourtant $f$ n'est pas continue en $0$ : $f(x)=0\to 0\ne 1=f(0)$.

Pourquoi. En un point du bord, il n'existe pas de $a<x_0$ dans $I$ : la pente $p(a,x_0)$ qui minorait le taux d'accroissement n'existe pas, et rien ne l'empêche de partir vers $-\infty$. C'est ce qui se passe ici : $p(0,x)=\frac{0-1}{x}=-\frac{1}{x}\to -\infty$ quand $x\to 0^{+}$. À l'intérieur, les deux pentes fixes encadrent ; au bord, un côté manque.

Ce que l'exercice installe. Une propriété algébrique — une inégalité entre valeurs — peut forcer des propriétés analytiques — continuité, dérivabilité latérale. Le mécanisme est toujours le même : la monotonie des pentes, qui est la vraie définition de travail de la convexité. On retrouvera ce résultat en deuxième année, où les fonctions convexes sont l'outil central de l'optimisation ; et l'exemple du e) rappelle que « intérieur » n'est jamais un mot décoratif dans une hypothèse.