Rolle itéré et les polynômes de Legendre

La stratégie. Entre deux zéros d'une fonction dérivable, il y a un zéro de la dérivée : c'est Rolle. Si l'on sait de plus que les zéros du bord sont multiples — ce que la formule de Leibniz établit — le nombre de zéros ne diminue pas quand on dérive, jusqu'à l'ordre $n$. On récolte ainsi $n$ zéros pour un polynôme de degré $n$ : c'est le maximum possible, et ils sont tous localisés.

a) Rolle itéré. Notons $z_0<z_1<\cdots <z_k$ les $k+1$ zéros de $\phi$. Sur chaque segment $[z_i,z_{i+1}]$ ($0\le i\le k-1$), $\phi$ est continue, dérivable sur l'ouvert, et $\phi (z_i)=\phi (z_{i+1})=0$ : le théorème de Rolle fournit $c_i\in ]z_i,z_{i+1}[$ tel que ${\phi }^{\prime }(c_i)=0$. Les intervalles ouverts $]z_i,z_{i+1}[$ sont deux à deux disjoints, donc les $c_i$ sont deux à deux distincts : ${\phi }^{\prime }$ a au moins $k$ zéros distincts, tous dans $]z_0,z_k[$.

On recommence : ${\phi }^{\prime }$ est de classe ${\mathcal{C}}^{k-1}$ et s'annule en $k$ points distincts de $]z_0,z_k[$, donc ${\phi }^{\prime \prime }$ s'annule en au moins $k-1$ points distincts de $]z_0,z_k[$, et ainsi de suite. Par récurrence, pour $0\le j\le k$, ${\phi }^{(j)}$ s'annule en au moins $k+1-j$ points distincts de $[z_0,z_k]$, situés dans $]z_0,z_k[$ dès que $j\ge 1$ ; à chaque étape, la dérivée ${\phi }^{(j)}$ avec $j<k$ est dérivable (donc continue), ce qui légitime Rolle. Pour $j=k$ : ${\phi }^{(k)}$ s'annule en au moins un point de $]z_0,z_k[$.

b) Les zéros du bord sont multiples. Écrivons $U_n=P\cdot Q$ avec $P(x)=(x-1{)}^n$ et $Q(x)=(x+1{)}^n$. La formule de Leibniz donne, pour tout $k$, $$U_n^{(k)}=\sum _{j=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j}\right)P^{(j)}{Q}^{(k-j)}\text{(coefficient binomial « }j\text{ parmi }k\text{ »)}.$$ Or pour $j\le k<n$, $P^{(j)}(x)=n(n-1)\cdots (n-j+1)(x-1{)}^{n-j}$ avec $n-j\ge 1$ : cette dérivée s'annule en $x=1$. Tous les termes de la somme sont donc nuls en $1$ : $U_n^{(k)}(1)=0$. Le rôle de $P$ et $Q$ étant symétrique en $-1$ (pour $k-j\le k<n$, $Q^{(k-j)}(-1)=0$), on a de même $U_n^{(k)}(-1)=0$. Pour $0\le k<n$, $U_n^{(k)}$ s'annule en $1$ et en $-1$.

c) La récurrence. Notons $\mathcal{P}(k)$ : « $U_n^{(k)}$ admet au moins $k$ zéros distincts dans $]-1,1[$ ». $\mathcal{P}(0)$ est vraie sans rien démontrer (zéro zéro à exhiber). Supposons $\mathcal{P}(k)$ vraie pour un $k<n$. Alors $U_n^{(k)}$ possède $k$ zéros distincts dans $]-1,1[$, et, par le b), il s'annule aussi en $-1$ et en $1$ : cela fait $k+2$ zéros distincts dans $[-1,1]$. Le a), appliqué à $\phi =U_n^{(k)}$ (polynôme, donc de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$) avec $k+2=(k+1)+1$ zéros, montre que ${\phi }^{\prime }=U_n^{(k+1)}$ admet au moins $k+1$ zéros distincts, tous strictement compris entre $-1$ et $1$ : c'est $\mathcal{P}(k+1)$. Par récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie : $L_n=U_n^{(n)}$ admet au moins $n$ zéros distincts dans $]-1,1[$.

Le point délicat. L'hypothèse $k<n$ est indispensable pour utiliser les zéros du bord : à l'ordre $n$, $U_n^{(n)}(1)=n!2^n\ne 0$ (seul le terme $j=n$ survit dans Leibniz), et la récurrence s'arrête exactement au bon moment. Un cran de plus, et l'on prétendrait que $L_n^{\prime }$ a $n+1$ zéros — faux, puisqu'il est de degré $n-1$.

d) Le polynôme $L_n$. $U_n$ est un polynôme de degré $2n$, de coefficient dominant $1$. Dériver $n$ fois abaisse le degré de $n$ : $L_n$ est de degré $n$, et son coefficient dominant est celui de la dérivée $n$-ième de $x^{2n}$, soit $$2n(2n-1)\cdots (n+1)=\frac{(2n)!}{n!}.$$ Un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines (admis) ; avec le c), $L_n$ en a exactement $n$, distinctes, toutes dans $]-1,1[$. C'est le nombre maximal possible, et elles sont toutes réelles et localisées.

e) Vérification. $L_1(x)=(x^2-1{)}^{\prime }=2x$, de racine $0$. Et $U_2(x)=(x^2-1{)}^2=x^4-2x^2+1$, $U_2^{\prime }(x)=4x^3-4x$, $L_2(x)=U_2^{\prime \prime }(x)=12x^2-4$ : degré $2$, coefficient dominant $12=\frac{4!}{2!}$, racines $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\approx \pm 0,577$, toutes deux dans $]-1,1[$ et distinctes. Le résultat du d) est confirmé.

Ce que l'exercice installe. Le théorème de Rolle ne sert pas qu'à l'égalité des accroissements finis : itéré, il compte et localise les zéros des dérivées successives. L'ingrédient nouveau est la conservation des zéros multiples par dérivation, que Leibniz rend visible et que le chapitre sur les polynômes formalisera (une racine d'ordre $n$ de $P$ est racine d'ordre $n-k$ de $P^{(k)}$). Les polynômes $L_n$, à un facteur $2^{n}n!$ près, sont les polynômes de Legendre ; leurs racines réelles et distinctes sont ce qui les rend précieux en intégration numérique, et le chapitre sur les espaces préhilbertiens montrera qu'ils sont deux à deux orthogonaux.