Prolongement et dérivabilité

Sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, $f(x)=x^2$, $f^{\prime }(x)=2x$ ; sur ${\mathbb{R}}_{-}^{\ast }$, $f(x)=-x^2$, $f^{\prime }(x)=-2x$ : dans les deux cas $f^{\prime }(x)=2|x|$. En $0$, le taux d'accroissement $\frac{x|x|}{x}=|x|$ tend vers $0$ : $f$ est dérivable en $0$ avec $f^{\prime }(0)=0$. Ainsi $f^{\prime }=2|x|$ sur $\mathbb{R}$, qui est continue : $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$. En revanche $f^{\prime }=2|x|$ n'est pas dérivable en $0$ (point anguleux) : $f$ n'est pas de classe ${\mathcal{C}}^2$.