Soit f : ℝ → ℝ périodique et admettant une limite finie en +∞. Montrer…

Stratégie : la caractérisation séquentielle de la limite en $+\infty$, appliquée à une suite arithmétique de raison la période. Le principe : la périodicité recopie la valeur $f(x)$ arbitrairement loin, où la limite l'attend.

La démonstration. Soit $T>0$ une période de $f$, et $\ell \in \mathbb{R}$ la limite de $f$ en $+\infty$. Fixons un réel $x$ quelconque et considérons la suite $$x_n=x+nT.$$ Elle tend vers $+\infty$ (car $T>0$), donc, par caractérisation séquentielle de la limite en $+\infty$, $$f(x_n)\underset{n\to +\infty }{\to }\ell .$$ Mais la $T$-périodicité donne, par récurrence immédiate, $f(x+nT)=f(x)$ pour tout $n$ : la suite $(f(x_n){)}_n$ est constante, égale à $f(x)$. Une suite constante converge vers sa valeur, et la limite est unique : $$f(x)=\ell .$$ Ceci vaut pour tout $x$ réel, donc $$\boxed{f\equiv \ell :f\text{ est constante}}$$

⚠️ Le point délicat : aucune hypothèse de continuité n'est utilisée — et il ne faut pas en ajouter. La démonstration n'emploie que la périodicité et l'existence de la limite. Le résultat vaut donc pour n'importe quelle fonction périodique, fût-elle discontinue partout (comme l'indicatrice de $\mathbb{Q}$, qui est $1$-périodique — et qui, cohéremment, n'a pas de limite en $+\infty$). Ajouter « $f$ continue » dans la rédaction, c'est utiliser une hypothèse dont on ne dispose pas et masquer la vraie raison.

Second point : c'est $T>0$ qui garantit $x+nT\to +\infty$. Une « période » nulle ou négative ruinerait l'argument — d'où la convention $T>0$.

Contraposée, plus parlante. Une fonction périodique non constante n'a pas de limite en $+\infty$. C'est ainsi qu'on l'utilise en pratique : $\cos$, $\sin$, $\tan$, la partie fractionnaire $x-\lfloor x\rfloor$ n'ont aucune limite à l'infini, et il est inutile d'en chercher une.

Contrôle. $f=\cos$ est $2\pi$-périodique et non constante : elle ne doit donc pas avoir de limite en $+\infty$ — et en effet $\cos (2n\pi )=1$ tandis que $\cos ((2n+1)\pi )=-1$ ✓, exactement le mécanisme du n° 1. À l'inverse $f\equiv 5$ est périodique (de toute période) et de limite $5$ : le théorème est bien vérifié, et il est optimal ✓.

Ce que l'exercice installe. Le procédé « transporter une information locale à l'infini par périodicité » : dès qu'une fonction se répète, tout ce qui est vrai à l'infini est vrai partout. On le retrouve pour montrer qu'une fonction périodique continue est bornée et atteint ses bornes sur $\mathbb{R}$ tout entier (il suffit de l'étudier sur une période), ou qu'une fonction périodique intégrable a une intégrale de même valeur sur toute période.