Montrer, par la caractérisation séquentielle, que x ↦ cos 1/x n'a pas…

Stratégie : la caractérisation séquentielle, employée dans les deux sens. Pour prouver qu'une limite n'existe pas, on l'emploie par contraposée : on exhibe deux suites tendant vers $0$ dont les images n'ont pas la même limite. Pour prouver qu'une limite existe, la caractérisation ne sert à rien : on encadre.

1) $x\mapsto \cos \frac{1}{x}$ n'a pas de limite en $0$.

Rappelons l'énoncé : $f$ admet la limite $L$ en $0$ si et seulement si pour toute suite $(x_n)$ de réels non nuls tendant vers $0$, on a $f(x_n)\to L$. Il suffit donc de deux suites qui se contredisent.

Posons, pour $n⩾1$, $$x_n=\frac{1}{2n\pi }\text{et}{y}_n=\frac{1}{(2n+1)\pi }.$$ Ce sont des réels non nuls qui tendent tous deux vers $0$. Et $$\cos \frac{1}{x_n}=\cos (2n\pi )=1⟶1,\cos \frac{1}{y_n}=\cos ((2n+1)\pi )=-1⟶-1.$$ Si $\cos \frac{1}{x}$ avait une limite $L$ en $0$, on aurait à la fois $L=1$ et $L=-1$ : impossible par unicité de la limite. Donc $\cos \frac{1}{x}$ n'a pas de limite en $0$.

⚠️ Le point délicat : une seule suite ne prouve rien. Exhiber $x_n\to 0$ avec $\cos \frac{1}{x_n}\to 1$ ne dit pas que la limite vaut $1$ ; cela dit seulement que si une limite existe, elle vaut $1$. Il en faut impérativement deux, avec des limites d'images distinctes. Autre précaution : les suites doivent être à valeurs non nulles, puisque la fonction n'est pas définie en $0$ — d'où le choix de $\frac{1}{2n\pi }$ plutôt que de quoi que ce soit d'autre.

2) $x\mapsto x\cos \frac{1}{x}$ admet une limite en $0$.

Ici la caractérisation séquentielle serait un très mauvais outil : il faudrait traiter toutes les suites. On encadre. Pour tout $x\ne 0$, $\left|\cos \frac{1}{x}\right|⩽1$, donc $$\left|x\cos \frac{1}{x}-0\right|⩽|x|\underset{x\to 0}{\to }0,$$ d'où, par encadrement, $$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }x\cos \frac{1}{x}=0}$$ C'est le mécanisme « bornée $\times$ nulle $\to$ nulle » : le facteur $\cos \frac{1}{x}$ continue d'osciller sans fin, mais il est écrasé par le facteur $x$.

Contrôle. Sur $x_n$ et $y_n$ pour $n=500$ : $x_{500}=3,183\cdot 10^{-4}$ donne $\cos \frac{1}{x_{500}}=+1$ exactement, et $y_{500}=3,180\cdot 10^{-4}$ donne $-1$ exactement — deux valeurs opposées pour deux abscisses distantes de $3\cdot 10^{-7}$ ✓. La fonction oscille infiniment vite au voisinage de $0$. Pour la seconde : $y_{500}\cos \frac{1}{y_{500}}=-3,18\cdot 10^{-4}$, et un balayage de $999$ points entre $10^{-6}$ et $10^{-3}$ confirme $\left|x\cos \frac{1}{x}\right|⩽|x|$ sans exception ✓.

Ce que l'exercice installe. Deux réflexes opposés et complémentaires :

• prouver qu'une limite n'existe pas $\to$ deux suites bien choisies (c'est la seule méthode élémentaire) ;
• prouver qu'une limite existe $\to$ une majoration de $|f(x)-L|$ par une quantité tendant vers $0$.

Et un objet à connaître : $\cos \frac{1}{x}$, l'exemple canonique de la fonction bornée sans limite, dont la multiplication par $x$ puis par $x^2$ engendre les contre-exemples les plus utiles du chapitre — notamment $x^2\sin \frac{1}{x}$, dérivable partout mais de dérivée discontinue, au n° 5.