Le mouvement circulaire : Rolle est faux dans $\mathbb{C}$

La stratégie. Un énoncé faux se réfute par un exemple ; mais l'exercice ne vaut que si l'on dit pourquoi la démonstration ne se transporte pas — et ce qui, dans le réel, survit au passage au complexe.

a) Le contre-exemple. Une fonction à valeurs complexes est dérivable si et seulement si ses parties réelle et imaginaire le sont, et alors $f^{\prime }=(\mathrm{Re}f{)}^{\prime }+i(\mathrm{Im}f{)}^{\prime }$. Ici $f(t)=\cos t+i\sin t$, donc $$f^{\prime }(t)=-\sin t+i\cos t=i(\cos t+i\sin t)=i{e}^{it}.$$ Le module : $|f(t)|=\sqrt{{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t}=1$, constant ; et $|f^{\prime }(t)|=|i||e^{it}|=1\ne 0$ pour tout $t$. Or $f(0)=1=e^{2i\pi }=f(2\pi )$. Les hypothèses de Rolle sont toutes vérifiées sur $[0,2\pi ]$ — continuité, dérivabilité, valeurs égales aux bornes — et pourtant $f^{\prime }$ ne s'annule en aucun point : le théorème de Rolle est faux dans $\mathbb{C}$. L'égalité des accroissements finis tombe avec lui : $f(2\pi )-f(0)=0$ ne s'écrit pas $f^{\prime }(c)(2\pi -0)$, puisque $|f^{\prime }(c)|\cdot 2\pi =2\pi \ne 0$.

Où la démonstration échoue. La preuve réelle de Rolle commence par « $f$ continue sur un segment atteint son maximum ». Or « maximum » suppose une relation d'ordre sur l'ensemble d'arrivée, et $\mathbb{C}$ n'est pas ordonné : la phrase « $f(c)$ est le plus grand des $f(t)$ » n'a aucun sens. Le théorème ne tombe pas par accident, il tombe à la première ligne. On peut le voir concrètement : Rolle appliqué à $\mathrm{Re}f=\cos$ sur $[0,2\pi ]$ donne un zéro de $-\sin$ en $c_1=\pi$ ; appliqué à $\mathrm{Im}f=\sin$, un zéro de $\cos$ en $c_2=\frac{\pi }{2}$. Les deux théorèmes réels fonctionnent — mais en des points différents, et $f^{\prime }$ ne s'annule que là où les deux s'annulent simultanément, ce qui n'arrive jamais.

b) La vitesse est orthogonale au rayon. Écrivons $|f{|}^2=f\overline{f}$, constante. La conjuguée $\overline{f}$ est dérivable, de dérivée $\overline{f^{\prime }}$ (conjuguer, c'est changer le signe de la partie imaginaire, et la dérivation respecte cette opération). Par la formule du produit, $$0=(f\overline{f}{)}^{\prime }=f^{\prime }\overline{f}+f\overline{f^{\prime }}=\overline{f}{f}^{\prime }+\overline{\overline{f}{f}^{\prime }}=2\mathrm{Re}(\overline{f}{f}^{\prime }).$$ Donc $\mathrm{Re}\left(\overline{f}{f}^{\prime }\right)=0$. Interprétation : pour deux nombres complexes $z$ et $w$ vus comme des vecteurs du plan, $\mathrm{Re}(\overline{z}w)$ est leur produit scalaire. Un point qui se déplace sur un cercle centré en l'origine a donc un vecteur vitesse $f^{\prime }(t)$ orthogonal au rayon $f(t)$ : il est tangent au cercle. Pour $e^{it}$ : $\overline{f}{f}^{\prime }=e^{-it}\cdot i{e}^{it}=i$, de partie réelle nulle, et la vitesse, de module $1$, ne s'annule jamais : le point tourne à vitesse constante et revient à son point de départ sans jamais s'arrêter — c'est exactement ce que Rolle interdirait dans le réel.

c) La corde est plus courte que l'arc. Soient $a\le b$. Factorisons par l'exponentielle de l'angle moyen : $$e^{ib}-e^{ia}=e^{i\frac{a+b}{2}}\left(e^{i\frac{b-a}{2}}-e^{-i\frac{b-a}{2}}\right)=e^{i\frac{a+b}{2}}\cdot 2i\sin \frac{b-a}{2}.$$ Le module du premier facteur vaut $1$ et $|2i|=2$, donc $$\left|e^{ib}-e^{ia}\right|=2\left|\sin \frac{b-a}{2}\right|\le 2\cdot \frac{b-a}{2}=b-a,$$ par l'inégalité $|\sin x|\le |x|$ (le sinus est $1$-lipschitzien, conséquence de $|\cos |\le 1$ et de l'inégalité des accroissements finis réelle). C'est bien $|f(b)-f(a)|\le K|b-a|$ avec $K=\sup |f^{\prime }|=1$. Géométriquement : $2\sin \frac{\theta }{2}$ est la longueur de la corde du cercle unité sous-tendue par l'angle $\theta =b-a$, et $\theta$ est la longueur de l'arc — la corde est plus courte que l'arc.

Ce que l'exercice installe. La frontière exacte entre le réel et le complexe : tout ce qui relève des opérations et des modules se transporte (dérivation, opérations sur les limites, continuité, inégalité des accroissements finis) ; tout ce qui relève de l'ordre ne se transporte pas (Rolle, égalité des accroissements finis, monotonie, bornes atteintes au sens de l'ordre, valeurs intermédiaires). Le réflexe : devant un théorème d'analyse, se demander s'il parle d'inégalités entre valeurs — auquel cas il est réel, et rien d'autre. En deuxième année, l'inégalité des accroissements finis sera l'outil de tout le calcul différentiel à valeurs vectorielles.