Le mouvement circulaire : Rolle est faux dans $\mathbb{C}$

La stratégie. Un énoncé faux se réfute par un exemple ; mais l'exercice ne vaut que si l'on dit pourquoi la démonstration ne se transporte pas — et ce qui, dans le réel, survit au passage au complexe.

a) Le contre-exemple. Une fonction à valeurs complexes est dérivable si et seulement si ses parties réelle et imaginaire le sont, et alors $f^{\prime }=(\mathrm{Re}f{)}^{\prime }+i(\mathrm{Im}f{)}^{\prime }$. Ici $f(t)=\cos t+i\sin t$, donc $$f^{\prime }(t)=-\sin t+i\cos t=i(\cos t+i\sin t)=i{e}^{it}.$$ Le module : $|f(t)|=\sqrt{{\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t}=1$, constant ; et $|f^{\prime }(t)|=|i||e^{it}|=1\ne 0$ pour tout $t$. Or $f(0)=1=e^{2i\pi }=f(2\pi )$. Les hypothèses de Rolle sont toutes vérifiées sur $[0,2\pi ]$ — continuité, dérivabilité, valeurs égales aux bornes — et pourtant $f^{\prime }$ ne s'annule en aucun point : le théorème de Rolle est faux dans $\mathbb{C}$. L'égalité des accroissements finis tombe avec lui : $f(2\pi )-f(0)=0$ ne s'écrit pas $f^{\prime }(c)(2\pi -0)$, puisque $|f^{\prime }(c)|\cdot 2\pi =2\pi \ne 0$.

Où la démonstration échoue. La preuve réelle de Rolle commence par « $f$ continue sur un segment atteint son maximum ». Or « maximum » suppose une relation d'ordre sur l'ensemble d'arrivée, et $\mathbb{C}$ n'est pas ordonné : la phrase « $f(c)$ est le plus grand des $f(t)$ » n'a aucun sens. Le théorème ne tombe pas par accident, il tombe à la première ligne. On peut le voir concrètement : Rolle appliqué à $\mathrm{Re}f=\cos$ sur $[0,2\pi ]$ donne un zéro de $-\sin$ en $c_1=\pi$ ; appliqué à $\mathrm{Im}f=\sin$, un zéro de $\cos$ en $c_2=\frac{\pi }{2}$. Les deux théorèmes réels fonctionnent — mais en des points différents, et $f^{\prime }$ ne s'annule que là où les deux s'annulent simultanément, ce qui n'arrive jamais.