L'équation fonctionnelle de Cauchy

La stratégie. Deux étages. L'étage algébrique : l'équation seule détermine $f$ sur $\mathbb{Z}$, puis sur $\mathbb{Q}$, par des manipulations d'entiers. L'étage topologique : la densité de $\mathbb{Q}$ et la continuité de $f$ propagent la formule de $\mathbb{Q}$ à $\mathbb{R}$. On verra que la continuité ne sert qu'à cet étage, et en un seul point à la fois.

a) Sur les entiers. En prenant $x=y=0$ : $f(0)=f(0)+f(0)$, donc $f(0)=0$. En prenant $y=-x$ : $f(0)=f(x)+f(-x)$, donc $f(-x)=-f(x)$ : $f$ est impaire. Pour $n\in \mathbb{N}$, montrons par récurrence que $f(nx)=nf(x)$ : c'est vrai pour $n=0$ ; et $f((n+1)x)=f(nx+x)=f(nx)+f(x)=nf(x)+f(x)=(n+1)f(x)$. Pour $n$ entier négatif, $n=-m$ avec $m\in \mathbb{N}$ : $f(nx)=f(-(mx))=-f(mx)=-mf(x)=nf(x)$.

b) Sur les rationnels. Soit $r=\frac{p}{q}$ avec $p\in \mathbb{Z}$ et $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Évaluons $f(q\cdot r)$ de deux façons. D'une part, par le a) avec $n=q$ et $x=r$ : $f(qr)=qf(r)$. D'autre part $qr=p=p\cdot 1$, donc par le a) avec $n=p$ et $x=1$ : $f(qr)=f(p\cdot 1)=pf(1)=pa$. Ainsi $qf(r)=pa$, et comme $q\ne 0$ : $$f(r)=a\frac{p}{q}=ar.$$

c) Le passage aux réels. Soit $x\in \mathbb{R}$. Par la caractérisation séquentielle de la densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ (chapitre 5), il existe une suite $(r_n)$ de rationnels telle que $r_n\to x$. Comme $f$ est continue en $x$, la caractérisation séquentielle de la continuité donne $f(r_n)\to f(x)$. Mais $f(r_n)=a{r}_n$ par le b), et $a{r}_n\to ax$. Par unicité de la limite, $$f(x)=ax.$$ Réciproquement, toute application $x\mapsto ax$ est continue et vérifie l'équation. Les solutions continues sont exactement les applications linéaires $x\mapsto ax$, $a\in \mathbb{R}$.

Où la continuité a servi. En un seul endroit : pour écrire $f(r_n)\to f(x)$. Et au seul point $x$ : pour obtenir la valeur de $f$ en $x$, on n'a utilisé que la continuité de $f$ en $x$. C'est ce qui rend possible la question suivante.

d) La continuité en $0$ suffit. Supposons $f$ continue en $0$ seulement. Soit $x_0\in \mathbb{R}$ et $(x_n)$ une suite de limite $x_0$. Alors $x_n-x_0\to 0$, et par continuité en $0$, $f(x_n-x_0)\to f(0)=0$. Or, par l'équation, $f(x_n)=f(x_0)+f(x_n-x_0)\to f(x_0)$. Ceci valant pour toute suite $(x_n)$ de limite $x_0$, la caractérisation séquentielle donne : $f$ est continue en $x_0$. Donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, et le c) s'applique : $f(x)=ax$. L'équation fonctionnelle transporte la continuité d'un point à tous les autres.

e) L'équation multiplicative. Soit $g$ continue, non identiquement nulle, avec $g(x+y)=g(x)g(y)$.

$g$ est strictement positive. Pour tout $x$, $g(x)=g\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)=g{\left(\frac{x}{2}\right)}^2\ge 0$. Si $g$ s'annulait en un point $x_0$, alors pour tout $x$, $g(x)=g(x_0+(x-x_0))=g(x_0)g(x-x_0)=0$, et $g$ serait identiquement nulle — exclu. Donc $g(x)>0$ pour tout $x$.

Retour au cas additif. On peut donc poser $f=\ln \circ g$, qui est continue comme composée, et qui vérifie $f(x+y)=\ln (g(x)g(y))=\ln g(x)+\ln g(y)=f(x)+f(y)$. Par le c), $f(x)=ax$ pour un réel $a$, donc $g(x)=e^{ax}$. En posant $b=e^a=g(1)>0$ : $g(x)=b^x$. Réciproquement, $x\mapsto b^x$ avec $b>0$ est continue et transforme les sommes en produits. Les solutions sont exactement les fonctions exponentielles $x\mapsto b^x$, $b>0$ — et l'équation $g(x+y)=g(x)g(y)$ jointe à la continuité caractérise l'exponentielle.

Ce que l'exercice installe. Le principe densité + continuité : une fonction continue est entièrement déterminée par ses valeurs sur une partie dense, et pour prouver une identité entre fonctions continues, il suffit de la prouver sur $\mathbb{Q}$. On le retrouvera pour caractériser l'exponentielle, pour les morphismes continus de $(\mathbb{R},+)$, et pour la linéarité au chapitre des espaces vectoriels. (Il existe des solutions non continues de l'équation de Cauchy ; leur construction est hors programme, et elles sont d'une irrégularité extrême — ce qui montre combien l'hypothèse de continuité, même en un seul point, est décisive.)