EAF et série harmonique

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 6 — Limites, continuité, dérivabilité, convexité · D. Rolle, accroissements finis

Énoncé

À l'aide de l'égalité des accroissements finis, montrer que pour tout $n \in N^{*}$ : $\frac{1}{n + 1} < ln (n + 1) - ln n < \frac{1}{n},$ et en déduire que $H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \to + \infty$ .

Corrigé

Appliquons l'EAF à $ln$ sur $[n, n + 1]$ : il existe $c \in] n, n + 1 [$ tel que $ln (n + 1) - ln n = \frac{1}{c}, et \frac{1}{n + 1} < \frac{1}{c} < \frac{1}{n} .$ En sommant les inégalités de gauche pour $k = 1, \dots, n$ , le membre central se télescope : $H_{n} > ln (n + 1) n \to \infty + \infty,$ donc $H_{n} \to + \infty$ — preuve quantitative de la divergence de la série harmonique : $H_{n}$ croît comme $ln n$ (l'autre inégalité donne $H_{n} \leq 1 + ln n$ ).

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.