EAF et série harmonique

Appliquons l'EAF à $\ln$ sur $[n,n+1]$ : il existe $c\in ]n,n+1[$ tel que $$\ln (n+1)-\ln n=\frac{1}{c},\text{et}\frac{1}{n+1}<\frac{1}{c}<\frac{1}{n}.$$ En sommant les inégalités de gauche pour $k=1,\dots ,n$, le membre central se télescope : $$H_n>\ln (n+1)\underset{n\to \infty }{\to }+\infty ,$$ donc $H_n\to +\infty$ — preuve quantitative de la divergence de la série harmonique : $H_n$ croît comme $\ln n$ (l'autre inégalité donne $H_n\le 1+\ln n$).