Calcul différentiel et intégral

Cours · mathématiques MPSI, chapitre 4 · MPSI (classe préparatoire scientifique) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une courbe convexe et sa tangente, qui reste en dessous de la courbe.

4.1 Introduction et motivation

Le point de vue adopté dans ce chapitre est résolument pratique : en prenant appui sur les acquis du lycée, il s'agit de mettre en œuvre les techniques de base de l'analyse. La construction rigoureuse des notions rencontrées (limites, continuité, dérivabilité, intégrale) fera l'objet de chapitres ultérieurs ; quelques résultats seront donc ici admis, et signalés comme tels.

Les objectifs de formation sont les suivants :

introduire des fonctions pour établir des inégalités et résoudre des problèmes d'optimisation ;
manipuler les fonctions classiques, dont le corpus s'étend : exponentielle, logarithmes, puissances, fonctions circulaires réciproques, fonctions hyperboliques ;
calculer des dérivées et des primitives ;
pratiquer, sur des exemples simples, l'intégration par parties et le changement de variable ;
appliquer le tout aux équations différentielles linéaires, illustrées par des exemples issus de la physique, de la chimie et de la biologie.

4.2 Généralités sur les fonctions

4.2.1 Ensemble de définition et représentation graphique

Définition 4.1Ensemble de définition

Une fonction $f$ d'une variable réelle est définie par un ensemble de définition $D_{f} \subset R$ et la donnée, pour chaque $x \in D_{f}$ , d'une unique valeur $f (x)$ , réelle ou complexe. Lorsque $f$ est donnée par une formule, $D_{f}$ est, sauf mention contraire, le plus grand ensemble sur lequel la formule a un sens.

Exemple 4.2

$f (x) = \frac{ln ( 1 - x ^{2} )}{x}$ exige $1 - x^{2} > 0$ et $x \neq = 0$ : ainsi $D_{f} =] - 1, 0 [\cup] 0, 1 [$ .

Définition 4.3Graphe

La représentation graphique (ou graphe) d'une fonction $f : D_{f} \to R$ est l'ensemble des points $(x, f (x))$ pour $x \in D_{f}$ , tracé dans un repère du plan.

ImportantTransformations simples du graphe

Si l'on connaît le graphe $C_{f}$ de $f$ , on en déduit ceux des fonctions suivantes ( $a > 0$ , $b \in R$ ) :

Fonction	Transformation de $C_{f}$
$x \mapsto f (x) + b$	translation verticale de vecteur $b $
$x \mapsto f (x + a)$	translation horizontale de vecteur $- a $ (vers la gauche si $a > 0$ )
$x \mapsto f (a x)$	contraction horizontale de rapport $\frac{1}{a}$ (dilatation si $a < 1$ )
$x \mapsto a f (x)$	dilatation verticale de rapport $a$
$x \mapsto f (- x)$	symétrie par rapport à l'axe $(O y)$
$x \mapsto - f (x)$	symétrie par rapport à l'axe $(O x)$
$x \mapsto ∣ f (x) ∣$	repli au-dessus de l'axe $(O x)$ de la partie négative

4.2.2 Parité, imparité, périodicité

Définition 4.4Parité, imparité, périodicité

Soit $f$ définie sur un ensemble $D$ symétrique par rapport à $0$ .

$f$ est paire si $f (- x) = f (x)$ pour tout $x \in D$ : son graphe est symétrique par rapport à l'axe $(O y)$ .
$f$ est impaire si $f (- x) = - f (x)$ pour tout $x \in D$ : son graphe est symétrique par rapport à l'origine $O$ .
$f$ , définie sur $R$ , est $T$ -périodique ( $T > 0$ ) si $f (x + T) = f (x)$ pour tout $x$ : son graphe est invariant par la translation de vecteur $T $ .

ImportantRéduction du domaine d'étude

Ces propriétés réduisent le travail : une fonction paire ou impaire s'étudie sur $D \cap R_{+}$ , une fonction $T$ -périodique sur un intervalle de longueur $T$ ; on complète ensuite le graphe par les symétries ou translations correspondantes. Ainsi $x \mapsto sin^{2} x$ , paire et $π$ -périodique, s'étudie sur $[0, \frac{π}{2}]$ .

4.2.3 Opérations et monotonie

Définition 4.5Somme, produit, composée

Pour $f, g$ définies sur $D$ et $λ$ scalaire, on définit $f + g$ , $λ f$ , $f g$ et $\frac{f}{g}$ (là où $g$ ne s'annule pas) par les opérations sur les valeurs. Si $f : D \to E$ et $g$ est définie sur $E$ , la composée $g \circ f$ est définie sur $D$ par $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ .

Définition 4.6Monotonie

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ , à valeurs réelles. $f$ est croissante si $x \leq y ⟹ f (x) \leq f (y)$ , strictement croissante si $x < y ⟹ f (x) < f (y)$ ; définitions analogues pour (strictement) décroissante. Une fonction (strictement) croissante ou décroissante est dite (strictement) monotone.

Proposition 4.7Composée de fonctions monotones

La composée de deux fonctions monotones est monotone : croissante si les deux ont même sens de variation, décroissante sinon. (Règle des signes, en pensant croissant $= +$ et décroissant $= -$ .)

Attention

La règle des signes vaut pour la composition, pas pour le produit : $x \mapsto x$ est croissante sur $R$ , mais son carré $x \mapsto x^{2}$ n'est pas monotone sur $R$ . Le produit de deux fonctions croissantes positives est en revanche croissant.

4.2.4 Fonctions majorées, minorées, bornées

Définition 4.8Fonctions bornées

Soit $f : D \to R$ . $f$ est majorée s'il existe $M \in R$ tel que $f (x) \leq M$ pour tout $x \in D$ ; minorée s'il existe $m$ tel que $m \leq f (x)$ pour tout $x$ ; bornée si elle est majorée et minorée. Géométriquement : le graphe de $f$ est situé sous une droite horizontale (majorée), au-dessus (minorée), dans une bande horizontale (bornée).

Proposition 4.9

$f$ est bornée si et seulement si $∣ f ∣$ est majorée.

Démonstration

Si $m \leq f \leq M$ , alors $∣ f ∣ \leq max (∣ m ∣, ∣ M ∣)$ . Réciproquement, si $∣ f ∣ \leq K$ , alors $- K \leq f \leq K$ .

4.3 Dérivation

4.3.1 Dérivée et tangente

Définition 4.10Dérivée (rappel)

Soit $f$ définie au voisinage de $x_{0}$ . On dit que $f$ est dérivable en $x_{0}$ si le taux d'accroissement $\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ admet une limite finie quand $x \to x_{0}$ . Cette limite est la dérivée de $f$ en $x_{0}$ , notée $f^{'} (x_{0})$ ou $\frac{d}{d x} (f (x))_{x = x_{0}}$ . La tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $x_{0}$ est alors la droite d'équation :

$y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) .$

iRemarque

La définition et les règles ci-dessous sont rappelées et seront démontrées dans le chapitre consacré à la dérivabilité. À ce stade, l'objectif est de calculer vite et juste.

Proposition 4.11Opérations sur les dérivées

Si $u$ et $v$ sont dérivables (sur un intervalle, ou au point considéré) et $λ, μ$ sont des scalaires :

$(λ u + μv)^{'} = λ u^{'} + μ v^{'}, (uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}, (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} (v \neq = 0),$

et pour la composée, si $v \circ u$ a un sens :

$(v \circ u)^{'} (x) = u^{'} (x) \times v^{'} (u (x)) .$

En particulier : $(\frac{1}{v})^{'} = - \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$ , $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ , $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ , $(ln ∣ u ∣)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ , $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ .

Exemple 4.12

$\frac{d}{d x} (ln (1 + x^{2})) = \frac{2 x}{1 + x ^{2}}$ , $\frac{d}{d x} (e^{c o s x}) = - sin x e^{c o s x}$ , $\frac{d}{d x} (cos^{3} (2 x)) = - 6 sin (2 x) cos^{2} (2 x)$ .

4.3.2 Un mot sur les dérivées partielles

Définition 4.13Dérivées partielles (exemples simples)

Pour une fonction de deux variables $(x, y) \mapsto f (x, y)$ , la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ s'obtient en dérivant par rapport à $x$ en considérant $y$ comme une constante, et symétriquement pour $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Exemple 4.14

Pour $f (x, y) = x^{2} y^{3} + e^{x y}$ :

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{3} + y e^{x y}, \frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + x e^{x y} .$

Ces calculs, omniprésents en physique (thermodynamique, électromagnétisme), seront théorisés en deuxième année.

4.3.3 Monotonie et tableau de variations

◆Théorème 4.15Caractérisation par le signe de la dérivée (admis à ce stade)

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ , à valeurs réelles.

$f$ est constante sur $I$ $⟺$ $f^{'} = 0$ sur $I$ .
$f$ est croissante sur $I$ $⟺$ $f^{'} \geq 0$ sur $I$ (décroissante $⟺ f^{'} \leq 0$ ).
Si $f^{'} \geq 0$ sur $I$ et si $f^{'}$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points, alors $f$ est strictement croissante.

Attention

L'hypothèse « intervalle » est essentielle : $x \mapsto \frac{1}{x}$ a une dérivée strictement négative sur $R^{*}$ , mais n'est pas décroissante sur $R^{*}$ tout entier (comparer $f (- 1)$ et $f (1)$ ) — elle l'est sur chacun des intervalles $R_{-}^{*}$ et $R_{+}^{*}$ .

ImportantPlan d'étude pratique d'une fonction

Déterminer l'ensemble de définition, réduire le domaine d'étude (parité, périodicité).
Calculer $f^{'}$ , étudier son signe (factoriser !).
Dresser le tableau de variations, avec les limites aux bornes.
En déduire extremums, signe, nombre de solutions d'équations $f (x) = k$ … et tracer le graphe.

Exemple 4.16Étude de

f (x) = x e^{- x}

$f$ est définie et dérivable sur $R$ , et $f^{'} (x) = (1 - x) e^{- x}$ , du signe de $1 - x$ . D'où le tableau :

$x$	$- \infty$		$1$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$
$f$	$- \infty$	$↗$	$\frac{1}{e}$	$↘$	$0$

(la limite en $+ \infty$ résulte des croissances comparées, voir plus loin). Le maximum de $f$ sur $R$ vaut $\frac{1}{e}$ , atteint en $x = 1$ . On en déduit par exemple l'inégalité $x e^{- x} \leq \frac{1}{e}$ , soit $x \leq e^{x - 1}$ pour tout réel $x$ .

ImportantDémontrer une inégalité par étude de fonction

Pour établir $g (x) \leq h (x)$ sur un intervalle $I$ , on étudie la fonction différence $f = h - g$ : on calcule $f^{'}$ , on dresse le tableau de variations et on montre que le minimum de $f$ sur $I$ est positif. C'est l'une des méthodes les plus puissantes de l'analyse.

4.3.4 Fonction réciproque

◆Théorème 4.17Fonction réciproque (admis à ce stade)

Soit $f : I \to R$ continue et strictement monotone sur l'intervalle $I$ . Alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $J = f (I)$ : il existe une fonction $f^{- 1} : J \to I$ , dite réciproque, telle que

$y = f (x) et x \in I ⟺ x = f^{- 1} (y) et y \in J .$

Le graphe de $f^{- 1}$ est le symétrique de celui de $f$ par rapport à la première bissectrice (la droite $y = x$ ). Si de plus $f$ est dérivable en $x_{0}$ avec $f^{'} (x_{0}) \neq = 0$ , alors $f^{- 1}$ est dérivable en $y_{0} = f (x_{0})$ et :

$(f^{- 1})^{'} (y_{0}) = \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y _{0} ) )} .$

iRemarque

La formule de dérivation est admise, mais son interprétation géométrique est limpide : la symétrie par rapport à la première bissectrice échange l'horizontale et la verticale, donc transforme une tangente de pente $p \neq = 0$ en une tangente de pente $\frac{1}{p}$ . Elle transforme aussi une tangente horizontale en tangente verticale : c'est pourquoi l'hypothèse $f^{'} (x_{0}) \neq = 0$ est nécessaire.

Les graphes de $f$ et de $f^{- 1}$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice : le point $(x_{0}, y_{0})$ du graphe de $f$ devient le point $(y_{0}, x_{0})$ du graphe de $f^{- 1}$ , et une tangente de pente $p$ devient une tangente de pente $\frac{1}{p}$ .

4.3.5 Classe $C^{1}$ et dérivées d'ordre supérieur

Définition 4.18Classe

C^{1}

, dérivées successives

Une fonction $f$ est de classe $C^{1}$ sur un intervalle $I$ si elle est dérivable sur $I$ et si $f^{'}$ est continue sur $I$ . Si $f^{'}$ est elle-même dérivable, sa dérivée est la dérivée seconde $f^{''}$ , et l'on définit par récurrence les dérivées successives $f^{(n)}$ .

Exemple 4.19

Pour $f (x) = e^{2 x}$ : $f^{(n)} (x) = 2^{n} e^{2 x}$ . Pour $f (x) = sin x$ : $f^{(n)} (x) = sin (x + n \frac{π}{2})$ (chaque dérivation décale la phase de $\frac{π}{2}$ ).

4.4 Fonctions usuelles

4.4.1 Exponentielle et logarithme népérien

Définition 4.20Exponentielle et logarithme (rappels)

La fonction exponentielle $exp : R \to R_{+}^{*}$ , notée $x \mapsto e^{x}$ , est l'unique fonction dérivable égale à sa dérivée et valant $1$ en $0$ . Elle est strictement croissante, et vérifie $e^{x + y} = e^{x} e^{y}$ . Sa réciproque est le logarithme népérien $ln : R_{+}^{*} \to R$ , qui vérifie :

$ln (x y) = ln x + ln y, ln \frac{x}{y} = ln x - ln y, ln (x^{n}) = n ln x,$

$(e^{x})^{'} = e^{x}, (ln x)^{'} = \frac{1}{x} .$

Proposition 4.21Deux inégalités fondamentales

Pour tout $x \in R$ et tout $t > - 1$ :

$e^{x} \geq 1 + x, ln (1 + t) \leq t,$

avec égalité uniquement en $x = 0$ (resp. $t = 0$ ).

Démonstration

Posons $f (x) = e^{x} - 1 - x$ : $f^{'} (x) = e^{x} - 1$ est du signe de $x$ , donc $f$ décroît sur $R_{-}$ et croît sur $R_{+}$ ; son minimum est $f (0) = 0$ , d'où $f \geq 0$ avec égalité seulement en $0$ . La seconde inégalité s'en déduit en posant $x = ln (1 + t)$ : $1 + t = e^{x} \geq 1 + x = 1 + ln (1 + t)$ .

iRemarque

Géométriquement : la droite $y = 1 + x$ est la tangente en $0$ au graphe de l'exponentielle, et le graphe reste au-dessus de cette tangente (convexité, qui sera étudiée plus tard).

Exercices du chapitre

$cos x + cos (2 x)$ n'est pas périodique corrigé
Les inégalités de Jordan corrigé
$e^{π}$ contre $π^{e}$ , et les entiers tels que $m^{n} = n^{m}$ corrigé
Un arcsinus qui change de formule corrigé
$e^{a x} cos (b x)$ par l'exponentielle complexe corrigé
Les intégrales de Wallis corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre

Calcul différentiel et intégral

4.1 Introduction et motivation

4.2 Généralités sur les fonctions

4.2.1 Ensemble de définition et représentation graphique

4.2.2 Parité, imparité, périodicité

4.2.3 Opérations et monotonie

4.2.4 Fonctions majorées, minorées, bornées

4.3 Dérivation

4.3.1 Dérivée et tangente

4.3.2 Un mot sur les dérivées partielles

4.3.3 Monotonie et tableau de variations

4.3.4 Fonction réciproque

4.3.5 Classe C1 et dérivées d'ordre supérieur

4.4 Fonctions usuelles

4.4.1 Exponentielle et logarithme népérien

Exercices du chapitre

4.3.5 Classe $C^{1}$ et dérivées d'ordre supérieur