Calcul différentiel et intégral

Cours complet · mathématiques MPSI, chapitre 4 · MPSI (classe préparatoire scientifique)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>4.1 Introduction et motivation

Le point de vue adopté dans ce chapitre est résolument pratique : en prenant appui sur les acquis du lycée, il s'agit de mettre en œuvre les techniques de base de l'analyse. La construction rigoureuse des notions rencontrées (limites, continuité, dérivabilité, intégrale) fera l'objet de chapitres ultérieurs ; quelques résultats seront donc ici admis, et signalés comme tels.

Les objectifs de formation sont les suivants :

introduire des fonctions pour établir des inégalités et résoudre des problèmes d'optimisation ;
manipuler les fonctions classiques, dont le corpus s'étend : exponentielle, logarithmes, puissances, fonctions circulaires réciproques, fonctions hyperboliques ;
calculer des dérivées et des primitives ;
pratiquer, sur des exemples simples, l'intégration par parties et le changement de variable ;
appliquer le tout aux équations différentielles linéaires, illustrées par des exemples issus de la physique, de la chimie et de la biologie.

4.2 Généralités sur les fonctions

4.2.1 Ensemble de définition et représentation graphique

Définition 4.1Ensemble de définition

Une fonction $f$ d'une variable réelle est définie par un ensemble de définition $D_{f} \subset R$ et la donnée, pour chaque $x \in D_{f}$ , d'une unique valeur $f (x)$ , réelle ou complexe. Lorsque $f$ est donnée par une formule, $D_{f}$ est, sauf mention contraire, le plus grand ensemble sur lequel la formule a un sens.

Exemple 4.2

$f (x) = \frac{ln ( 1 - x ^{2} )}{x}$ exige $1 - x^{2} > 0$ et $x \neq = 0$ : ainsi $D_{f} =] - 1, 0 [\cup] 0, 1 [$ .

Définition 4.3Graphe

La représentation graphique (ou graphe) d'une fonction $f : D_{f} \to R$ est l'ensemble des points $(x, f (x))$ pour $x \in D_{f}$ , tracé dans un repère du plan.

ImportantTransformations simples du graphe

Si l'on connaît le graphe $C_{f}$ de $f$ , on en déduit ceux des fonctions suivantes ( $a > 0$ , $b \in R$ ) :

Fonction	Transformation de $C_{f}$
$x \mapsto f (x) + b$	translation verticale de vecteur $b $
$x \mapsto f (x + a)$	translation horizontale de vecteur $- a $ (vers la gauche si $a > 0$ )
$x \mapsto f (a x)$	contraction horizontale de rapport $\frac{1}{a}$ (dilatation si $a < 1$ )
$x \mapsto a f (x)$	dilatation verticale de rapport $a$
$x \mapsto f (- x)$	symétrie par rapport à l'axe $(O y)$
$x \mapsto - f (x)$	symétrie par rapport à l'axe $(O x)$
$x \mapsto ∣ f (x) ∣$	repli au-dessus de l'axe $(O x)$ de la partie négative

4.2.2 Parité, imparité, périodicité

Définition 4.4Parité, imparité, périodicité

Soit $f$ définie sur un ensemble $D$ symétrique par rapport à $0$ .

$f$ est paire si $f (- x) = f (x)$ pour tout $x \in D$ : son graphe est symétrique par rapport à l'axe $(O y)$ .
$f$ est impaire si $f (- x) = - f (x)$ pour tout $x \in D$ : son graphe est symétrique par rapport à l'origine $O$ .
$f$ , définie sur $R$ , est $T$ -périodique ( $T > 0$ ) si $f (x + T) = f (x)$ pour tout $x$ : son graphe est invariant par la translation de vecteur $T $ .

ImportantRéduction du domaine d'étude

Ces propriétés réduisent le travail : une fonction paire ou impaire s'étudie sur $D \cap R_{+}$ , une fonction $T$ -périodique sur un intervalle de longueur $T$ ; on complète ensuite le graphe par les symétries ou translations correspondantes. Ainsi $x \mapsto sin^{2} x$ , paire et $π$ -périodique, s'étudie sur $[0, \frac{π}{2}]$ .

4.2.3 Opérations et monotonie

Définition 4.5Somme, produit, composée

Pour $f, g$ définies sur $D$ et $λ$ scalaire, on définit $f + g$ , $λ f$ , $f g$ et $\frac{f}{g}$ (là où $g$ ne s'annule pas) par les opérations sur les valeurs. Si $f : D \to E$ et $g$ est définie sur $E$ , la composée $g \circ f$ est définie sur $D$ par $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ .

Définition 4.6Monotonie

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ , à valeurs réelles. $f$ est croissante si $x \leq y ⟹ f (x) \leq f (y)$ , strictement croissante si $x < y ⟹ f (x) < f (y)$ ; définitions analogues pour (strictement) décroissante. Une fonction (strictement) croissante ou décroissante est dite (strictement) monotone.

Proposition 4.7Composée de fonctions monotones

La composée de deux fonctions monotones est monotone : croissante si les deux ont même sens de variation, décroissante sinon. (Règle des signes, en pensant croissant $= +$ et décroissant $= -$ .)

Attention

La règle des signes vaut pour la composition, pas pour le produit : $x \mapsto x$ est croissante sur $R$ , mais son carré $x \mapsto x^{2}$ n'est pas monotone sur $R$ . Le produit de deux fonctions croissantes positives est en revanche croissant.

4.2.4 Fonctions majorées, minorées, bornées

Définition 4.8Fonctions bornées

Soit $f : D \to R$ . $f$ est majorée s'il existe $M \in R$ tel que $f (x) \leq M$ pour tout $x \in D$ ; minorée s'il existe $m$ tel que $m \leq f (x)$ pour tout $x$ ; bornée si elle est majorée et minorée. Géométriquement : le graphe de $f$ est situé sous une droite horizontale (majorée), au-dessus (minorée), dans une bande horizontale (bornée).

Proposition 4.9

$f$ est bornée si et seulement si $∣ f ∣$ est majorée.

Démonstration

Si $m \leq f \leq M$ , alors $∣ f ∣ \leq max (∣ m ∣, ∣ M ∣)$ . Réciproquement, si $∣ f ∣ \leq K$ , alors $- K \leq f \leq K$ .

4.3 Dérivation

4.3.1 Dérivée et tangente

Définition 4.10Dérivée (rappel)

Soit $f$ définie au voisinage de $x_{0}$ . On dit que $f$ est dérivable en $x_{0}$ si le taux d'accroissement $\frac{f ( x ) - f ( x _{0} )}{x - x _{0}}$ admet une limite finie quand $x \to x_{0}$ . Cette limite est la dérivée de $f$ en $x_{0}$ , notée $f^{'} (x_{0})$ ou $\frac{d}{d x} (f (x))_{x = x_{0}}$ . La tangente au graphe de $f$ au point d'abscisse $x_{0}$ est alors la droite d'équation :

$y = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) .$

iRemarque

La définition et les règles ci-dessous sont rappelées et seront démontrées dans le chapitre consacré à la dérivabilité. À ce stade, l'objectif est de calculer vite et juste.

Proposition 4.11Opérations sur les dérivées

Si $u$ et $v$ sont dérivables (sur un intervalle, ou au point considéré) et $λ, μ$ sont des scalaires :

$(λ u + μv)^{'} = λ u^{'} + μ v^{'}, (uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}, (\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} (v \neq = 0),$

et pour la composée, si $v \circ u$ a un sens :

$(v \circ u)^{'} (x) = u^{'} (x) \times v^{'} (u (x)) .$

En particulier : $(\frac{1}{v})^{'} = - \frac{v ^{'}}{v ^{2}}$ , $(u^{n})^{'} = n u^{'} u^{n - 1}$ , $(e^{u})^{'} = u^{'} e^{u}$ , $(ln ∣ u ∣)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ , $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ .

Exemple 4.12

$\frac{d}{d x} (ln (1 + x^{2})) = \frac{2 x}{1 + x ^{2}}$ , $\frac{d}{d x} (e^{c o s x}) = - sin x e^{c o s x}$ , $\frac{d}{d x} (cos^{3} (2 x)) = - 6 sin (2 x) cos^{2} (2 x)$ .

4.3.2 Un mot sur les dérivées partielles

Définition 4.13Dérivées partielles (exemples simples)

Pour une fonction de deux variables $(x, y) \mapsto f (x, y)$ , la dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ s'obtient en dérivant par rapport à $x$ en considérant $y$ comme une constante, et symétriquement pour $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Exemple 4.14

Pour $f (x, y) = x^{2} y^{3} + e^{x y}$ :

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{3} + y e^{x y}, \frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} + x e^{x y} .$

Ces calculs, omniprésents en physique (thermodynamique, électromagnétisme), seront théorisés en deuxième année.

4.3.3 Monotonie et tableau de variations

◆Théorème 4.15Caractérisation par le signe de la dérivée (admis à ce stade)

Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ , à valeurs réelles.

$f$ est constante sur $I$ $⟺$ $f^{'} = 0$ sur $I$ .
$f$ est croissante sur $I$ $⟺$ $f^{'} \geq 0$ sur $I$ (décroissante $⟺ f^{'} \leq 0$ ).
Si $f^{'} \geq 0$ sur $I$ et si $f^{'}$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points, alors $f$ est strictement croissante.

Attention

L'hypothèse « intervalle » est essentielle : $x \mapsto \frac{1}{x}$ a une dérivée strictement négative sur $R^{*}$ , mais n'est pas décroissante sur $R^{*}$ tout entier (comparer $f (- 1)$ et $f (1)$ ) — elle l'est sur chacun des intervalles $R_{-}^{*}$ et $R_{+}^{*}$ .

ImportantPlan d'étude pratique d'une fonction

Déterminer l'ensemble de définition, réduire le domaine d'étude (parité, périodicité).
Calculer $f^{'}$ , étudier son signe (factoriser !).
Dresser le tableau de variations, avec les limites aux bornes.
En déduire extremums, signe, nombre de solutions d'équations $f (x) = k$ … et tracer le graphe.

Exemple 4.16Étude de

f (x) = x e^{- x}

$f$ est définie et dérivable sur $R$ , et $f^{'} (x) = (1 - x) e^{- x}$ , du signe de $1 - x$ . D'où le tableau :

$x$	$- \infty$		$1$		$+ \infty$
$f^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$
$f$	$- \infty$	$↗$	$\frac{1}{e}$	$↘$	$0$

(la limite en $+ \infty$ résulte des croissances comparées, voir plus loin). Le maximum de $f$ sur $R$ vaut $\frac{1}{e}$ , atteint en $x = 1$ . On en déduit par exemple l'inégalité $x e^{- x} \leq \frac{1}{e}$ , soit $x \leq e^{x - 1}$ pour tout réel $x$ .

ImportantDémontrer une inégalité par étude de fonction

Pour établir $g (x) \leq h (x)$ sur un intervalle $I$ , on étudie la fonction différence $f = h - g$ : on calcule $f^{'}$ , on dresse le tableau de variations et on montre que le minimum de $f$ sur $I$ est positif. C'est l'une des méthodes les plus puissantes de l'analyse.

4.3.4 Fonction réciproque

◆Théorème 4.17Fonction réciproque (admis à ce stade)

Soit $f : I \to R$ continue et strictement monotone sur l'intervalle $I$ . Alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $J = f (I)$ : il existe une fonction $f^{- 1} : J \to I$ , dite réciproque, telle que

$y = f (x) et x \in I ⟺ x = f^{- 1} (y) et y \in J .$

Le graphe de $f^{- 1}$ est le symétrique de celui de $f$ par rapport à la première bissectrice (la droite $y = x$ ). Si de plus $f$ est dérivable en $x_{0}$ avec $f^{'} (x_{0}) \neq = 0$ , alors $f^{- 1}$ est dérivable en $y_{0} = f (x_{0})$ et :

$(f^{- 1})^{'} (y_{0}) = \frac{1}{f ^{'} ( x _{0} )} = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( y _{0} ) )} .$

iRemarque

La formule de dérivation est admise, mais son interprétation géométrique est limpide : la symétrie par rapport à la première bissectrice échange l'horizontale et la verticale, donc transforme une tangente de pente $p \neq = 0$ en une tangente de pente $\frac{1}{p}$ . Elle transforme aussi une tangente horizontale en tangente verticale : c'est pourquoi l'hypothèse $f^{'} (x_{0}) \neq = 0$ est nécessaire.

Les graphes de $f$ et de $f^{- 1}$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice : le point $(x_{0}, y_{0})$ du graphe de $f$ devient le point $(y_{0}, x_{0})$ du graphe de $f^{- 1}$ , et une tangente de pente $p$ devient une tangente de pente $\frac{1}{p}$ .

4.3.5 Classe $C^{1}$ et dérivées d'ordre supérieur

Définition 4.18Classe

C^{1}

, dérivées successives

Une fonction $f$ est de classe $C^{1}$ sur un intervalle $I$ si elle est dérivable sur $I$ et si $f^{'}$ est continue sur $I$ . Si $f^{'}$ est elle-même dérivable, sa dérivée est la dérivée seconde $f^{''}$ , et l'on définit par récurrence les dérivées successives $f^{(n)}$ .

Exemple 4.19

Pour $f (x) = e^{2 x}$ : $f^{(n)} (x) = 2^{n} e^{2 x}$ . Pour $f (x) = sin x$ : $f^{(n)} (x) = sin (x + n \frac{π}{2})$ (chaque dérivation décale la phase de $\frac{π}{2}$ ).

4.4 Fonctions usuelles

4.4.1 Exponentielle et logarithme népérien

Définition 4.20Exponentielle et logarithme (rappels)

La fonction exponentielle $exp : R \to R_{+}^{*}$ , notée $x \mapsto e^{x}$ , est l'unique fonction dérivable égale à sa dérivée et valant $1$ en $0$ . Elle est strictement croissante, et vérifie $e^{x + y} = e^{x} e^{y}$ . Sa réciproque est le logarithme népérien $ln : R_{+}^{*} \to R$ , qui vérifie :

$ln (x y) = ln x + ln y, ln \frac{x}{y} = ln x - ln y, ln (x^{n}) = n ln x,$

$(e^{x})^{'} = e^{x}, (ln x)^{'} = \frac{1}{x} .$

Proposition 4.21Deux inégalités fondamentales

Pour tout $x \in R$ et tout $t > - 1$ :

$e^{x} \geq 1 + x, ln (1 + t) \leq t,$

avec égalité uniquement en $x = 0$ (resp. $t = 0$ ).

Démonstration

Posons $f (x) = e^{x} - 1 - x$ : $f^{'} (x) = e^{x} - 1$ est du signe de $x$ , donc $f$ décroît sur $R_{-}$ et croît sur $R_{+}$ ; son minimum est $f (0) = 0$ , d'où $f \geq 0$ avec égalité seulement en $0$ . La seconde inégalité s'en déduit en posant $x = ln (1 + t)$ : $1 + t = e^{x} \geq 1 + x = 1 + ln (1 + t)$ .

iRemarque

Géométriquement : la droite $y = 1 + x$ est la tangente en $0$ au graphe de l'exponentielle, et le graphe reste au-dessus de cette tangente (convexité, qui sera étudiée plus tard).

4.4.2 Logarithmes de base quelconque

Définition 4.22Logarithme décimal, logarithme binaire

Pour $a > 0$ , $a \neq = 1$ , le logarithme en base $a$ est défini sur $R_{+}^{*}$ par $lo g_{a} x = \frac{ln x}{ln a}$ . Les deux cas usuels sont le logarithme décimal $lo g = lo g_{10}$ (sciences physiques, ordres de grandeur : pH, décibels) et le logarithme binaire $lo g_{2}$ (informatique : nombre de bits, complexité des algorithmes dichotomiques).

Exemple 4.23

$lo g_{2} 1024 = 10$ car $2^{10} = 1024$ ; le nombre de chiffres décimaux d'un entier $N$ est $⌊ lo g N ⌋ + 1$ .

4.4.3 Fonctions puissances

Définition 4.24Puissances d'exposant réel

Pour $α \in R$ , la fonction puissance d'exposant $α$ est définie sur $R_{+}^{*}$ par :

$x^{α} = e^{α l n x} .$

Elle est prolongée en $0$ par $0^{α} = 0$ lorsque $α > 0$ (et $0^{0} = 1$ par convention). Seules les puissances entières sont en outre définies sur $R_{-}^{*}$ .

Proposition 4.25Règles de calcul et dérivée

Pour $x, y > 0$ et $α, β \in R$ :

$(x y)^{α} = x^{α} y^{α}, x^{α + β} = x^{α} x^{β}, (x^{α})^{β} = x^{α β}, \frac{d}{d x} (x^{α}) = α x^{α - 1} .$

La fonction $x \mapsto x^{α}$ est strictement croissante sur $R_{+}^{*}$ si $α > 0$ , strictement décroissante si $α < 0$ .

Attention

Pour $x < 0$ , l'écriture $x^{α}$ n'a de sens que pour $α$ entier : $(- 8)^{1/3}$ est une écriture interdite, même si l'équation $t^{3} = - 8$ a bien la solution $- 2$ . Toujours revenir à $x^{α} = e^{α l n x}$ en cas de doute.

4.4.4 Croissances comparées

◆Théorème 4.26Croissances comparées

Pour tous $α > 0$ et $β > 0$ :

$x \to + \infty lim \frac{( ln x ) ^{β}}{x ^{α}} = 0, x \to + \infty lim \frac{x ^{α}}{e ^{x}} = 0,$

$x \to 0^{+} lim x^{α} ∣ ln x ∣^{β} = 0, x \to - \infty lim ∣ x ∣^{α} e^{x} = 0.$

Retenir la hiérarchie : en $+ \infty$ , l'exponentielle l'emporte sur les puissances, qui l'emportent sur les logarithmes.

Exemple 4.27

$x \to + \infty lim x^{2} e^{- x} = 0$ , $x \to 0^{+} lim x ln x = 0$ , $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{100}} = + \infty$ : même $x^{100}$ ne résiste pas à $e^{x}$ .

4.4.5 Fonctions circulaires réciproques

Les fonctions $sin$ , $cos$ , $tan$ ne sont pas monotones sur leur domaine : pour les inverser, on les restreint à un intervalle de stricte monotonie.

Définition 4.28Arcsinus, arccosinus, arctangente

$sin$ est continue et strictement croissante de $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ sur $[- 1, 1]$ : sa réciproque est $Arcsin : [- 1, 1] \to [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .
$cos$ est continue et strictement décroissante de $[0, π]$ sur $[- 1, 1]$ : sa réciproque est $Arccos : [- 1, 1] \to [0, π]$ .
$tan$ est continue et strictement croissante de $] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ sur $R$ : sa réciproque est $Arctan : R \to] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ .

Ainsi, $Arcsin x$ est l'angle de $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ dont le sinus vaut $x$ , et de même pour les deux autres.

Exemple 4.29

$Arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$ , $Arccos (- \frac{2}{2}) = \frac{3 π}{4}$ , $Arctan 3 = \frac{π}{3}$ , $Arctan (- 1) = - \frac{π}{4}$ .

Attention

$Arcsin (sin x) = x$ n'est vrai que pour $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ! Par exemple $Arcsin (sin \frac{3 π}{4}) = Arcsin \frac{2}{2} = \frac{π}{4}$ . En revanche, $sin (Arcsin x) = x$ pour tout $x \in [- 1, 1]$ .

◆Théorème 4.30Dérivées des fonctions circulaires réciproques

$Arcsin^{'} x = \frac{1}{1 - x ^{2}} (x \in] - 1, 1 [), Arccos^{'} x = \frac{- 1}{1 - x ^{2}} (x \in] - 1, 1 [),$

$Arctan^{'} x = \frac{1}{1 + x ^{2}} .$

$Arcsin$ et $Arctan$ sont impaires et strictement croissantes ; $Arccos$ est strictement décroissante.

Démonstration

Par la formule de dérivation d'une réciproque, pour $x = sin t$ avec $t \in] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ :

$Arcsin^{'} x = \frac{1}{cos t}, or cos t = 1 - sin^{2} t = 1 - x^{2} (cos t > 0 sur cet intervalle) .$

De même $Arctan^{'} x = \frac{1}{1 + t a n ^{2} t} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ avec $x = tan t$ , en utilisant $tan^{'} = 1 + tan^{2}$ . Le calcul est analogue pour $Arccos$ (avec $sin t > 0$ sur $] 0, π [$ , d'où le signe $-$ ).

Proposition 4.31Relation entre

Arcsin

Arccos

Pour tout $x \in [- 1, 1]$ :

$Arcsin x + Arccos x = \frac{π}{2} .$

Démonstration

La fonction $f (x) = Arcsin x + Arccos x$ est continue sur $[- 1, 1]$ , dérivable sur $] - 1, 1 [$ , de dérivée $\frac{1}{1 - x ^{2}} - \frac{1}{1 - x ^{2}} = 0$ : elle est constante sur l'intervalle, égale à $f (0) = 0 + \frac{π}{2}$ .

4.4.6 Fonctions hyperboliques

Définition 4.32Sinus, cosinus et tangente hyperboliques

Pour tout $x \in R$ :

$ch x = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}, sh x = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}, th x = \frac{sh x}{ch x} = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{e ^{x} + e ^{- x}} .$

$ch$ est paire, $sh$ et $th$ sont impaires ; $ch$ et $sh$ sont les parties paire et impaire de l'exponentielle : $e^{x} = ch x + sh x$ .

Proposition 4.33Propriétés fondamentales

Pour tout $x \in R$ :

$ch^{2} x - sh^{2} x = 1, ch^{'} = sh, sh^{'} = ch, th^{'} = 1 - th^{2} = \frac{1}{ch ^{2}} .$

$sh$ est strictement croissante sur $R$ (car $ch > 0$ ) ; $ch$ est strictement croissante sur $R_{+}$ , de minimum $ch 0 = 1$ ; $th$ est strictement croissante et bornée : $- 1 < th x < 1$ , avec $th x \to \pm 1$ en $\pm \infty$ .

Démonstration

$ch^{2} x - sh^{2} x = \frac{( e ^{x} + e ^{- x} ) ^{2} - ( e ^{x} - e ^{- x} ) ^{2}}{4} = \frac{4 e ^{x} e ^{- x}}{4} = 1$ . Les dérivées sont immédiates à partir de $(e^{\pm x})^{'} = \pm e^{\pm x}$ , et $th^{'} = \frac{ch ^{2} - sh ^{2}}{ch ^{2}}$ donne les deux écritures.

iRemarque

Le nom « hyperbolique » vient de ce que $t \mapsto (ch t, sh t)$ paramètre une branche de l'hyperbole $x^{2} - y^{2} = 1$ , comme $t \mapsto (cos t, sin t)$ paramètre le cercle $x^{2} + y^{2} = 1$ . La courbe de $ch$ est la chaînette : c'est la forme d'un câble suspendu entre deux points. Les fonctions hyperboliques réciproques sont hors programme ; la seule formule exigible est $ch^{2} - sh^{2} = 1$ .

4.5 Dérivation des fonctions complexes d'une variable réelle

Définition 4.34Dérivée d'une fonction à valeurs complexes

Soit $f : I \to C$ définie sur un intervalle $I$ de $R$ . En écrivant $f = u + i v$ avec $u = Re f$ et $v = Im f$ à valeurs réelles, on dit que $f$ est dérivable si $u$ et $v$ le sont, et on pose :

$f^{'} = u^{'} + i v^{'} .$

Proposition 4.35Opérations

Les règles de dérivation d'une combinaison linéaire (à coefficients complexes), d'un produit et d'un quotient s'étendent sans changement aux fonctions à valeurs complexes.

◆Théorème 4.36Dérivée de

exp (φ)

Si $φ : I \to C$ est dérivable, alors $x \mapsto e^{φ (x)}$ est dérivable et :

$(e^{φ})^{'} = φ^{'} e^{φ} .$

En particulier, pour tout $λ = a + ib \in C$ : $(e^{λ x})^{'} = λ e^{λ x}$ .

Démonstration (Démonstration dans le cas

φ (x) = λ x

)

Écrivons $e^{λ x} = e^{a x} cos (b x) + i e^{a x} sin (b x)$ et dérivons les parties réelle et imaginaire :

$(e^{λ x})^{'} = e^{a x} (a cos b x - b sin b x) + i e^{a x} (a sin b x + b cos b x) = (a + ib) e^{a x} (cos b x + i sin b x) = λ e^{λ x} .$

Le cas général s'obtient de la même façon avec $φ = u + i v$ .

iRemarque

Cette formule, anodine en apparence, est la clé des équations différentielles et du calcul des primitives de $e^{a x} cos (b x)$ : elle permet de traiter d'un seul coup, via les complexes, ce qui demanderait deux intégrations par parties dans le monde réel.

4.6 Calcul de primitives

4.6.1 Primitives et intégrales

Définition 4.37Primitive

Soit $f$ définie sur un intervalle $I$ , à valeurs réelles ou complexes. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F^{'} = f$ .

Proposition 4.38Ensemble des primitives

Si $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle $I$ , alors les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $F + C$ , où $C$ est une constante.

Démonstration

Si $G^{'} = F^{'} = f$ , alors $(G - F)^{'} = 0$ sur l'intervalle $I$ , donc $G - F$ est constante (caractérisation des fonctions constantes). Réciproquement, $(F + C)^{'} = f$ .

◆Théorème 4.39Lien entre intégrale et primitive (rappelé, admis à ce stade)

Si $f$ est continue sur $I$ et $x_{0} \in I$ , la fonction $x \mapsto \int_{x_{0}}^{x} f (t) d t$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $x_{0}$ . Par conséquent, pour toute primitive $F$ de $f$ et tous $a, b \in I$ :

$\int_{a}^{b} f (t) d t = [F (t)]_{a}^{b} = F (b) - F (a) .$

On pourra noter $\int^{x} f (t) d t$ une primitive générique de $f$ .

4.6.2 Primitives usuelles

ImportantTable des primitives usuelles (à connaître parfaitement)

Sur tout intervalle où les formules ont un sens ( $C$ désigne une constante) :

f (x)

\int^{x} f

f (x)

\int^{x} f

x^{α} (α \neq = - 1)

\frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C

cos x

sin x + C

[1.5mm]

$\frac{1}{x}$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $ln ∣ x ∣ + C$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $sin x$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $- cos x + C$ </td></tr><tr style=""><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">[1.5mm] $e^{λ x} (λ \in C^{*})$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $\frac{e ^{λ x}}{λ} + C$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $\frac{1}{cos ^{2} x} = 1 + tan^{2} x$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $tan x + C$ </td></tr><tr style=""><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">[1.5mm] $ln x$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $x ln x - x + C$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $tan x$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $- ln ∣ cos x ∣ + C$ </td></tr><tr style=""><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">[1.5mm] $ch x$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $sh x + C$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $Arctan x + C$ </td></tr><tr style="border-bottom:1.5px solid #2E2C26"><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">[1.5mm] $sh x$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $ch x + C$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $\frac{1}{1 - x ^{2}}$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $Arcsin x + C$ </td></tr></table></div>

ImportantReconnaître la dérivée d'une composée

Les formes suivantes se primitivent à vue, pour $u$ dérivable :

$\int^{x} u^{'} u^{α} = \frac{u ^{α + 1}}{α + 1} (α \neq = - 1), \int^{x} \frac{u ^{'}}{u} = ln ∣ u ∣, \int^{x} u^{'} e^{u} = e^{u},$

$\int^{x} \frac{u ^{'}}{1 + u ^{2}} = Arctan u, \int^{x} \frac{u ^{'}}{u} = 2 u, \int^{x} \frac{u ^{'}}{1 - u ^{2}} = Arcsin u .$

Exemple 4.40

$\int^{x} t e^{- t^{2}} d t = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C, \int^{x} \frac{t}{1 + t ^{2}} d t = \frac{1}{2} ln (1 + x^{2}) + C,$

$\int^{x} \frac{d t}{t ln t} = ln ∣ ln x ∣ + C (forme \frac{u ^{'}}{u} avec u = ln t) .$

4.6.3 Primitives de $e^{a x} cos (b x)$ via l'exponentielle complexe

ImportantMéthode

Pour primitiver $x \mapsto e^{a x} cos (b x)$ ou $e^{a x} sin (b x)$ (avec $(a, b) \neq = (0, 0)$ ), on écrit ces fonctions comme partie réelle ou imaginaire de $e^{(a + ib) x}$ , dont une primitive est $\frac{e ^{(a + ib) x}}{a + ib}$ , puis on revient aux parties réelle et imaginaire.

Exemple 4.41

Cherchons une primitive de $e^{x} cos (2 x)$ . Avec $λ = 1 + 2 i$ :

$\int^{x} e^{(1 + 2 i) t} d t = \frac{e ^{(1 + 2 i) x}}{1 + 2 i} = \frac{( 1 - 2 i ) e ^{x} ( cos 2 x + i sin 2 x )}{5} .$

En prenant la partie réelle :

$\int^{x} e^{t} cos (2 t) d t = \frac{e ^{x} ( cos 2 x + 2 sin 2 x )}{5} + C .$

(Vérification rapide : dériver le membre de droite redonne bien $e^{x} cos 2 x$ .)

4.6.4 Primitives de $\frac{1}{a x ^{2} + b x + c}$

ImportantMéthode : trinôme au dénominateur

Pour primitiver $x \mapsto \frac{1}{a x ^{2} + b x + c}$ ( $a \neq = 0$ ), on discute selon le discriminant $Δ$ :

$Δ > 0$ : deux racines réelles $r_{1} \neq = r_{2}$ ; on décompose $\frac{1}{a ( x - r _{1} ) ( x - r _{2} )} = \frac{1}{a ( r _{1} - r _{2} )} (\frac{1}{x - r _{1}} - \frac{1}{x - r _{2}})$ , d'où des logarithmes.
$Δ = 0$ : racine double $r$ ; $\frac{1}{a ( x - r ) ^{2}}$ a pour primitive $\frac{- 1}{a ( x - r )}$ .
$Δ < 0$ : pas de racine réelle ; on met sous forme canonique $a [(x + \frac{b}{2 a})^{2} + ω^{2}]$ et on reconnaît un $Arctan$ .

Exemple 4.42Cas

Δ < 0

$x^{2} + 2 x + 5 = (x + 1)^{2} + 4$ , donc :

$\int^{x} \frac{d t}{t ^{2} + 2 t + 5} = \frac{1}{4} \int^{x} \frac{d t}{( \frac{t + 1}{2} ) ^{2} + 1} = \frac{1}{2} Arctan (\frac{x + 1}{2}) + C .$

Exemple 4.43Cas

Δ > 0

$x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ , et $\frac{1}{( x - 1 ) ( x - 2 )} = \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1}$ , donc sur tout intervalle évitant $1$ et $2$ :

$\int^{x} \frac{d t}{t ^{2} - 3 t + 2} = ln \frac{x - 2}{x - 1} + C .$

4.6.5 Intégration par parties

◆Théorème 4.44Intégration par parties

Si $u$ et $v$ sont de classe $C^{1}$ sur $[a, b]$ :

$\int_{a}^{b} u^{'} (t) v (t) d t = [u (t) v (t)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u (t) v^{'} (t) d t .$

Démonstration

C'est la formule $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ intégrée entre $a$ et $b$ .

Exemple 4.45

$\int_{1}^{e} ln t d t = [t ln t]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} t \cdot \frac{1}{t} d t = e - (e - 1) = 1 (u^{'} = 1, v = ln t) .$

$\int_{0}^{π} t sin t d t = [- t cos t]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} cos t d t = π + 0 = π (u^{'} = sin t, v = t) .$

iRemarque

Stratégie : on dérive ce qui se simplifie en dérivant (polynômes, $ln$ , $Arctan$ ), on primitive ce qui ne grossit pas ( $e^{t}$ , $cos$ , $sin$ ). Pour les applications pratiques, on ne demande pas de rappeler les hypothèses de régularité.

4.6.6 Changement de variable

◆Théorème 4.46Changement de variable

Si $φ$ est de classe $C^{1}$ sur $[a, b]$ et $f$ continue sur $φ ([a, b])$ :

$\int_{a}^{b} f (φ (t)) φ^{'} (t) d t = \int_{φ (a)}^{φ (b)} f (u) d u .$

En pratique, on pose $u = φ (t)$ , on remplace $d u$ par $φ^{'} (t) d t$ , et on change les bornes.

Exemple 4.47Aire du quart de disque

Calculons $I = \int_{0}^{1} 1 - x^{2} d x$ en posant $x = sin t$ , $d x = cos t d t$ , les bornes devenant $0$ et $\frac{π}{2}$ :

$I = \int_{0}^{π /2} 1 - sin^{2} t cos t d t = \int_{0}^{π /2} cos^{2} t d t = \int_{0}^{π /2} \frac{1 + cos 2 t}{2} d t = \frac{π}{4},$

en linéarisant $cos^{2} t$ (chapitre précédent !). On retrouve l'aire du quart de disque unité.

4.7 Équations différentielles linéaires du premier ordre

4.7.1 Position du problème

Définition 4.48EDL du premier ordre

Soient $a, b : I \to K$ (avec $K = R$ ou $C$ ) des fonctions continues sur un intervalle $I$ . L'équation

$(E) : y^{'} + a (x) y = b (x)$

est l'équation différentielle linéaire du premier ordre de fonctions coefficients $a$ et $b$ . Une solution est une fonction $y$ dérivable sur $I$ vérifiant l'égalité en tout point. L'équation homogène associée est

$(H) : y^{'} + a (x) y = 0.$

4.7.2 Résolution de l'équation homogène

◆Théorème 4.49Solutions de l'équation homogène

Soit $A$ une primitive de $a$ sur $I$ . Les solutions de $(H)$ sur $I$ sont exactement les fonctions

$y (x) = C e^{- A (x)}, C \in K .$

En particulier, si $a$ est constante, les solutions sont les $x \mapsto C e^{- a x}$ .

Démonstration

Les fonctions $C e^{- A}$ sont solutions : $(C e^{- A})^{'} = - a C e^{- A}$ . Réciproquement, si $y$ est solution, posons $z (x) = y (x) e^{A (x)}$ : alors

$z^{'} = (y^{'} + a y) e^{A} = 0 sur I,$

donc $z$ est constante (sur un intervalle !), égale à $C$ , et $y = C e^{- A}$ .

Exemple 4.50

Sur $R$ , l'équation $y^{'} = k y$ ( $k$ constante) a pour solutions $y = C e^{k x}$ : croissance ou décroissance exponentielle. C'est le modèle de la radioactivité ( $k < 0$ ), des intérêts composés et de la croissance d'une population isolée ( $k > 0$ ).

4.7.3 Structure des solutions et variation de la constante

◆Théorème 4.51Structure de l'ensemble des solutions

Si $y_{p}$ est une solution particulière de $(E)$ , les solutions de $(E)$ sont exactement les fonctions

$y = y_{p} + y_{h}, y_{h} solution de (H),$

c'est-à-dire $y (x) = y_{p} (x) + C e^{- A (x)}$ , $C \in K$ .

Démonstration

$y$ est solution de $(E)$ si et seulement si $(y - y_{p})^{'} + a (y - y_{p}) = b - b = 0$ , c'est-à-dire si $y - y_{p}$ est solution de $(H)$ .

Proposition 4.52Principe de superposition

Si $y_{1}$ est solution de $y^{'} + a (x) y = b_{1} (x)$ et $y_{2}$ de $y^{'} + a (x) y = b_{2} (x)$ , alors $λ_{1} y_{1} + λ_{2} y_{2}$ est solution de $y^{'} + a (x) y = λ_{1} b_{1} (x) + λ_{2} b_{2} (x)$ . On peut donc traiter séparément chaque morceau d'un second membre composite.

ImportantMéthode de la variation de la constante

Pour trouver une solution particulière de $(E)$ , on cherche $y$ sous la forme

$y (x) = C (x) e^{- A (x)},$

où $C$ est désormais une fonction. En reportant dans $(E)$ , les termes en $C$ se détruisent et il reste :

$C^{'} (x) = b (x) e^{A (x)},$

qu'on résout par un calcul de primitive. D'où la solution générale :

$y (x) = e^{- A (x)} (\int^{x} b (t) e^{A (t)} d t + C) .$

Exemple 4.53Résolution complète

Résolvons sur $I =] 0, + \infty [$ : $x y^{'} + y = x^{2}$ , soit $y^{'} + \frac{1}{x} y = x$ .

Homogène : $A (x) = ln x$ , donc $y_{h} = \frac{C}{x}$ .
Variation de la constante : $y = \frac{C ( x )}{x}$ donne $C^{'} (x) = x \cdot x = x^{2}$ , d'où $C (x) = \frac{x ^{3}}{3}$ et $y_{p} = \frac{x ^{2}}{3}$ .
Conclusion : les solutions sur $I$ sont $y (x) = \frac{x ^{2}}{3} + \frac{C}{x}$ , $C \in R$ .

(Remarque : ici, on aurait aussi pu deviner $y_{p} = \frac{x ^{2}}{3}$ directement, ou constater que $x y^{'} + y = (x y)^{'}$ .)

4.7.4 Problème de Cauchy

◆Théorème 4.54Existence et unicité

Soient $x_{0} \in I$ et $y_{0} \in K$ . Le problème de Cauchy

$y^{'} + a (x) y = b (x), y (x_{0}) = y_{0}$

admet une unique solution sur $I$ : la condition initiale détermine la constante $C$ .

Démonstration

La solution générale s'écrit $y = y_{p} + C e^{- A}$ ; la condition $y (x_{0}) = y_{0}$ équivaut à $C = (y_{0} - y_{p} (x_{0})) e^{A (x_{0})}$ , qui détermine $C$ de façon unique.

Exemple 4.55Charge d'un condensateur (physique)

Dans un circuit $R C$ alimenté par une tension constante $E$ , la tension $u$ aux bornes du condensateur vérifie

$R C u^{'} + u = E, u (0) = 0.$

Solutions : $u (t) = E + C e^{- t / τ}$ avec $τ = R C$ (constante de temps), et $u (0) = 0$ donne $C = - E$ , d'où

$u (t) = E (1 - e^{- t / τ}) :$

la tension tend exponentiellement vers $E$ , et atteint $63 %$ de cette valeur au bout du temps $τ$ .

4.8 Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

4.8.1 Équation homogène

Définition 4.56EDL2 à coefficients constants

Soient $a, b \in K$ et $f$ continue sur un intervalle $I$ , à valeurs dans $K$ . On considère :

$(E) : y^{''} + a y^{'} + b y = f (x), (H) : y^{''} + a y^{'} + b y = 0.$

L'équation caractéristique associée est l'équation du second degré (chapitre précédent !) :

$r^{2} + a r + b = 0.$

◆Théorème 4.57Solutions de l'équation homogène

Notons $r_{1}, r_{2}$ les racines (complexes) de l'équation caractéristique.

Si $r_{1} \neq = r_{2}$ : les solutions à valeurs complexes de $(H)$ sont $y = λ e^{r_{1} x} + μ e^{r_{2} x}$ , $(λ, μ) \in C^{2}$ .
Si $r_{1} = r_{2} = r$ (racine double) : les solutions sont $y = (λ + μx) e^{r x}$ .

Si $a$ et $b$ sont réels et qu'on cherche les solutions réelles, trois cas selon $Δ = a^{2} - 4 b$ :

Cas

Racines

Solutions réelles de $(H)$

Δ > 0

r_{1} \neq = r_{2}

réelles

λ e^{r_{1} x} + μ e^{r_{2} x}

[1mm]

$Δ = 0$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $r$ double réelle</td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $(λ + μx) e^{r x}$ </td></tr><tr style="border-bottom:1.5px solid #2E2C26"><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">[1mm] $Δ < 0$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $r = α \pm i β$ ( $β > 0$ )</td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $e^{α x} (λ cos (β x) + μ sin (β x))$ </td></tr></table></div>

avec $(λ, μ) \in R^{2}$ dans chaque cas.

Exemple 4.58

$y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0$ : racines $1$ et $2$ , solutions $λ e^{x} + μ e^{2 x}$ .
$y^{''} + 2 y^{'} + y = 0$ : racine double $- 1$ , solutions $(λ + μx) e^{- x}$ .
$y^{''} + ω^{2} y = 0$ ( $ω > 0$ ) : racines $\pm iω$ , solutions $λ cos (ω x) + μ sin (ω x)$ — l'oscillateur harmonique.

4.8.2 Équation avec second membre

◆Théorème 4.59Structure des solutions et superposition

Si $y_{p}$ est une solution particulière de $(E)$ , les solutions de $(E)$ sont les $y = y_{p} + y_{h}$ où $y_{h}$ parcourt les solutions de $(H)$ . Le principe de superposition vaut comme au premier ordre : un second membre $λ_{1} f_{1} + λ_{2} f_{2}$ admet la solution particulière $λ_{1} y_{1} + λ_{2} y_{2}$ .

ImportantRecherche d'une solution particulière (formes exigibles)

Notons $r_{1}, r_{2}$ les racines de l'équation caractéristique.

Second membre polynôme $P (x)$ : chercher $y_{p}$ polynôme, de même degré que $P$ si $b \neq = 0$ (degré $+ 1$ si $b = 0$ et $a \neq = 0$ ).
Second membre $A e^{λ x}$ ( $A, λ \in C$ ) : chercher

$y_{p} = C e^{λ x} si λ \in / {r_{1}, r_{2}}, y_{p} = C x e^{λ x} si λ racine simple,$

$y_{p} = C x^{2} e^{λ x} si λ racine double .$

Second membre $B cos (ω x)$ ou $B sin (ω x)$ : passer en complexes avec $B e^{iω x}$ , résoudre, puis prendre la partie réelle ou imaginaire. Le cas où $iω$ est racine de l'équation caractéristique est le phénomène de résonance.

Exemple 4.60Second membre exponentiel

Pour $y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = e^{3 x}$ : $3$ n'est pas racine de $r^{2} - 3 r + 2$ , on cherche $y_{p} = C e^{3 x}$ : $(9 - 9 + 2) C e^{3 x} = e^{3 x}$ donne $C = \frac{1}{2}$ . Solutions : $y = \frac{1}{2} e^{3 x} + λ e^{x} + μ e^{2 x}$ .

Pour $y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = e^{x}$ : $1$ est racine simple, on cherche $y_{p} = C x e^{x}$ ; le calcul donne $C = - 1$ , d'où $y_{p} = - x e^{x}$ .

Exemple 4.61Oscillateur forcé et résonance

Résolvons $y^{''} + 4 y = cos (2 x)$ : l'homogène a pour solutions $λ cos 2 x + μ sin 2 x$ , et $2 i$ est racine de $r^{2} + 4$ : il y a résonance. On cherche $z_{p} = C x e^{2 i x}$ pour l'équation complexifiée $z^{''} + 4 z = e^{2 i x}$ :

$z_{p}^{''} + 4 z_{p} = 4 i C e^{2 i x} = e^{2 i x} ⟹ C = \frac{1}{4 i} = - \frac{i}{4},$

d'où $z_{p} = - \frac{i}{4} x e^{2 i x}$ et, en prenant la partie réelle, $y_{p} = \frac{x sin ( 2 x )}{4}$ . L'amplitude croît linéairement avec $x$ : c'est la signature de la résonance (pont soumis à une excitation périodique à sa fréquence propre, verre brisé par un son…).

4.8.3 Problème de Cauchy

◆Théorème 4.62Existence et unicité (admis)

Pour tous $x_{0} \in I$ et $(y_{0}, y_{1}) \in K^{2}$ , le problème de Cauchy

$y^{''} + a y^{'} + b y = f (x), y (x_{0}) = y_{0}, y^{'} (x_{0}) = y_{1}$

admet une unique solution sur $I$ . (La démonstration est hors programme.) Au second ordre, il faut donc deux conditions initiales — position et vitesse en mécanique — pour déterminer la solution.

Exemple 4.63Oscillateur amorti (mécanique)

Un oscillateur amorti régi par $y^{''} + 2 y^{'} + 5 y = 0$ , lâché de la position $y (0) = 1$ sans vitesse initiale ( $y^{'} (0) = 0$ ) : l'équation caractéristique $r^{2} + 2 r + 5 = 0$ a pour racines $- 1 \pm 2 i$ , d'où

$y (t) = e^{- t} (λ cos 2 t + μ sin 2 t), y (0) = λ = 1, y^{'} (0) = - λ + 2 μ = 0,$

soit $y (t) = e^{- t} (cos 2 t + \frac{1}{2} sin 2 t)$ : des oscillations dont l'amplitude décroît exponentiellement.

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.9 Exercices résolus

Niveau $⋆$ (Application directe du cours)

Exercice 1 : Étude de fonction et extremum

Étudier les variations de $f (x) = \frac{ln x}{x}$ sur $] 0, + \infty [$ , et en déduire une comparaison de $e^{π}$ et $π^{e}$ .

Démonstration (Solution)

$f$ est dérivable et $f^{'} (x) = \frac{1 - ln x}{x ^{2}}$ , du signe de $1 - ln x$ : $f$ croît sur $] 0, e]$ , décroît sur $[e, + \infty [$ , avec un maximum $f (e) = \frac{1}{e}$ (limites : $- \infty$ en $0^{+}$ , $0$ en $+ \infty$ par croissances comparées).

Comme $π \neq = e$ , le maximum strict donne $f (π) < f (e)$ , soit $\frac{ln π}{π} < \frac{1}{e}$ , donc $e ln π < π$ , c'est-à-dire $ln (π^{e}) < ln (e^{π})$ et enfin :

$π^{e} < e^{π} .$

Exercice 2 : Calculs de dérivées

Dériver les fonctions suivantes (sur leur domaine) :

$f_{1} (x) = ln (x + 1 + x^{2}), f_{2} (x) = Arctan (e^{x}), f_{3} (x) = x^{x} (x > 0) .$

Démonstration (Solution)

Pour $f_{1}$ , par dérivation de composées (et $(u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}$ ) :

$f_{1}^{'} (x) = \frac{1 + \frac{x}{1 + x ^{2}}}{x + 1 + x ^{2}} = \frac{\frac{1 + x ^{2} + x}{1 + x ^{2}}}{x + 1 + x ^{2}} = \frac{1}{1 + x ^{2}} .$

Pour $f_{2}$ : $f_{2}^{'} (x) = \frac{e ^{x}}{1 + e ^{2 x}}$ . Pour $f_{3}$ , écrire $x^{x} = e^{x l n x}$ :

$f_{3}^{'} (x) = (ln x + 1) e^{x l n x} = (ln x + 1) x^{x} .$

Exercice 3 : Primitives à vue

Déterminer une primitive de chacune des fonctions :

$f_{1} (x) = x e^{x^{2}}, f_{2} (x) = \frac{1}{1 + 4 x ^{2}}, f_{3} (x) = sin x cos^{4} x, f_{4} (x) = \frac{x}{1 - x ^{4}} .$

Démonstration (Solution)

$\int^{x} f_{1} = \frac{1}{2} e^{x^{2}}, \int^{x} f_{2} = \frac{1}{2} Arctan (2 x), \int^{x} f_{3} = - \frac{cos ^{5} x}{5},$

les deux premières par reconnaissance de $u^{'} e^{u}$ et $\frac{u ^{'}}{1 + u ^{2}}$ (avec $u = 2 x$ ), la troisième par $u^{'} u^{4}$ avec $u = cos x$ . Pour $f_{4}$ , poser $u = x^{2}$ : $f_{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{u ^{'}}{1 - u ^{2}}$ , d'où :

$\int^{x} f_{4} = \frac{1}{2} Arcsin (x^{2}) .$

Niveau $⋆ ⋆$ (Application avec raisonnement intermédiaire)

Exercice 4 : Encadrement du logarithme

Montrer que pour tout $x > - 1$ :

$\frac{x}{1 + x} \leq ln (1 + x) \leq x .$

Démonstration (Solution)

Majoration. Posons $g (x) = x - ln (1 + x)$ sur $] - 1, + \infty [$ : $g^{'} (x) = 1 - \frac{1}{1 + x} = \frac{x}{1 + x}$ , négative sur $] - 1, 0]$ , positive sur $[0, + \infty [$ . Donc $g$ atteint son minimum en $0$ , où $g (0) = 0$ : $g \geq 0$ .

Minoration. Posons $h (x) = ln (1 + x) - \frac{x}{1 + x}$ :

$h^{'} (x) = \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{( 1 + x ) ^{2}} = \frac{x}{( 1 + x ) ^{2}},$

même signe que ci-dessus, même conclusion : $h \geq h (0) = 0$ . (Ces deux inégalités encadrent $ln (1 + x)$ entre sa corde et sa tangente ; elles servent constamment dans l'étude des suites du type $(1 + \frac{1}{n})^{n}$ .)

Exercice 5 : Intégration par parties

Calculer $I = \int_{0}^{1} x^{2} e^{x} d x$ et $J = \int_{0}^{1} Arctan x d x$ .

Démonstration (Solution)

Pour $I$ , deux intégrations par parties successives (on dérive le polynôme) :

$I = [x^{2} e^{x}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x e^{x} d x = e - 2 ([x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x) = e - 2 (e - (e - 1)) = e - 2.$

Pour $J$ , on dérive $Arctan$ et on primitive $1$ :

$J = [x Arctan x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{π}{4} - [\frac{1}{2} ln (1 + x^{2})]_{0}^{1} = \frac{π}{4} - \frac{ln 2}{2} .$

Exercice 6 : Changement de variable

Calculer $K = \int_{1}^{4} \frac{d x}{x ( 1 + x )}$ (poser $u = x$ ).

Démonstration (Solution)

Avec $u = x$ , soit $x = u^{2}$ et $d x = 2 u d u$ , les bornes deviennent $1$ et $2$ :

$K = \int_{1}^{2} \frac{2 u d u}{u ( 1 + u ^{2} )} = 2 \int_{1}^{2} \frac{d u}{1 + u ^{2}} = 2 (Arctan 2 - Arctan 1) = 2 Arctan 2 - \frac{π}{2} .$

Exercice 7 : EDL1 par variation de la constante

Résoudre sur $] - \frac{π}{2}, \frac{π}{2} [$ l'équation $y^{'} + (tan x) y = sin (2 x)$ .

Démonstration (Solution)

Homogène : une primitive de $tan$ est $- ln (cos x)$ (le cosinus est positif sur l'intervalle), donc $y_{h} = C e^{l n c o s x} = C cos x$ .

Variation de la constante : $y = C (x) cos x$ reporté dans l'équation donne $C^{'} (x) cos x = sin 2 x = 2 sin x cos x$ , soit $C^{'} (x) = 2 sin x$ , d'où $C (x) = - 2 cos x$ et $y_{p} = - 2 cos^{2} x$ .

Conclusion : les solutions sont

$y (x) = C cos x - 2 cos^{2} x, C \in R .$

(Vérification de $y_{p}$ : $(- 2 cos^{2} x)^{'} + tan x (- 2 cos^{2} x) = 4 cos x sin x - 2 sin x cos x = sin 2 x$ . ✓)

Niveau $⋆ ⋆ ⋆$ (Raisonnement subtil ou plusieurs étapes)

Exercice 8 : Une identité d'arctangentes

Montrer que pour tout $x > 0$ : $Arctan x + Arctan \frac{1}{x} = \frac{π}{2}$ , puis calculer $Arctan 2 + Arctan 3$ .

Démonstration (Solution)

Posons $f (x) = Arctan x + Arctan \frac{1}{x}$ sur $] 0, + \infty [$ :

$f^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}} + \frac{- \frac{1}{x ^{2}}}{1 + \frac{1}{x ^{2}}} = \frac{1}{1 + x ^{2}} - \frac{1}{x ^{2} + 1} = 0,$

donc $f$ est constante sur l'intervalle, égale à $f (1) = \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$ .

Pour la seconde question, posons $S = Arctan 2 + Arctan 3$ . Chaque terme est dans $] \frac{π}{4}, \frac{π}{2} [$ , donc $S \in] \frac{π}{2}, π [$ . Par la formule d'addition de la tangente :

$tan S = \frac{2 + 3}{1 - 2 \times 3} = - 1,$

et le seul angle de $] \frac{π}{2}, π [$ de tangente $- 1$ est $\frac{3 π}{4}$ . Donc $Arctan 2 + Arctan 3 = \frac{3 π}{4}$ .

Exercice 9 : Primitive de

e^{a x} cos (b x)

et application

Déterminer les primitives de $f (x) = e^{- x} sin x$ , puis calculer $\int_{0}^{π} e^{- x} sin x d x$ .

Démonstration (Solution)

Écrivons $f = Im (e^{(- 1 + i) x})$ . Une primitive de $e^{(- 1 + i) x}$ est :

$\frac{e ^{(- 1 + i) x}}{- 1 + i} = \frac{( - 1 - i ) e ^{(- 1 + i) x}}{2},$

dont la partie imaginaire vaut $\frac{e ^{- x}}{2} (- sin x - cos x)$ . Donc :

$\int^{x} e^{- t} sin t d t = - \frac{e ^{- x} ( sin x + cos x )}{2} + C .$

D'où l'intégrale :

$\int_{0}^{π} e^{- x} sin x d x = [- \frac{e ^{- x} ( sin x + cos x )}{2}]_{0}^{π} = \frac{e ^{- π}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1 + e ^{- π}}{2} .$

(Le calcul réel demanderait deux intégrations par parties et une résolution d'équation — les complexes font tout le travail.)

Exercice 10 : Oscillateur forcé, problème de Cauchy complet

Résoudre le problème de Cauchy :

$y^{''} + y = cos x, y (0) = 0, y^{'} (0) = 0,$

et commenter le comportement de la solution quand $x \to + \infty$ .

Démonstration (Solution)

Homogène : $r^{2} + 1 = 0$ , racines $\pm i$ : $y_{h} = λ cos x + μ sin x$ .

Particulière : le second membre est $Re (e^{i x})$ et $i$ est racine de l'équation caractéristique : résonance. On cherche $z_{p} = C x e^{i x}$ pour $z^{''} + z = e^{i x}$ : $z_{p}^{''} + z_{p} = 2 i C e^{i x}$ , d'où $C = \frac{1}{2 i} = - \frac{i}{2}$ et

$y_{p} = Re (- \frac{i}{2} x e^{i x}) = \frac{x sin x}{2} .$

Conditions initiales : $y = \frac{x s i n x}{2} + λ cos x + μ sin x$ , avec $y (0) = λ = 0$ et $y^{'} (0) = μ = 0$ (car $y_{p}^{'} (0) = 0$ ). La solution est :

$y (x) = \frac{x sin x}{2} .$

Commentaire : la solution oscille avec une amplitude $\frac{x}{2}$ qui tend vers l'infini — l'excitation $cos x$ est exactement à la fréquence propre de l'oscillateur, qui accumule de l'énergie à chaque période : c'est la résonance, redoutée des ingénieurs (ponts, bâtiments) et exploitée par les instruments de musique.

Synthèse du chapitre (à retenir)

Fonctions : transformations de graphes ( $f (x + a)$ , $f (a x)$ , …) ; parité/périodicité $\Rightarrow$ réduction du domaine ; $f$ bornée $⟺ ∣ f ∣$ majorée.
Dérivation : $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ , $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , $(v \circ u)^{'} = u^{'} \times v^{'} \circ u$ ; sur un intervalle, signe de $f^{'}$ $⟺$ monotonie ; inégalités par étude de la différence ; réciproque : graphe symétrique par rapport à $y = x$ , $(f^{- 1})^{'} = \frac{1}{f ^{'} \circ f ^{- 1}}$ .
Usuelles : $x^{α} = e^{α l n x}$ sur $R_{+}^{*}$ ; croissances comparées ( $e^{x} ≫ x^{α} ≫ (ln x)^{β}$ ) ; $e^{x} \geq 1 + x$ , $ln (1 + t) \leq t$ ; $Arcsin^{'} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ , $Arctan^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ , $Arcsin + Arccos = \frac{π}{2}$ ; $ch^{2} - sh^{2} = 1$ , $ch^{'} = sh$ , $sh^{'} = ch$ .
Complexes : $(e^{φ})^{'} = φ^{'} e^{φ}$ ; primitives de $e^{a x} cos (b x)$ via $Re (\frac{e ^{(a + ib) x}}{a + ib})$ .
Primitives : table des usuelles + formes $u^{'} u^{α}$ , $\frac{u ^{'}}{u}$ , $u^{'} e^{u}$ , $\frac{u ^{'}}{1 + u ^{2}}$ ; trinôme $\frac{1}{a x ^{2} + b x + c}$ selon $Δ$ (logs, $\frac{- 1}{a ( x - r )}$ , $Arctan$ ) ; IPP : $\int u^{'} v = [uv] - \int u v^{'}$ ; changement de variable avec changement des bornes.
EDL1 $y^{'} + a (x) y = b (x)$ : homogène $C e^{- A}$ ; solution générale = particulière + homogène ; variation de la constante : $C^{'} = b e^{A}$ ; problème de Cauchy : existence et unicité.
EDL2 $y^{''} + a y^{'} + b y = f$ : équation caractéristique ; trois cas réels ( $Δ > 0$ , $= 0$ , $< 0 \to e^{α x} (λ cos β x + μ sin β x)$ ) ; particulière selon le second membre (polynôme, $A e^{λ x}$ avec décalage en cas de racine, $cos / sin$ via complexes) ; résonance si $iω$ racine ; Cauchy : deux conditions initiales.

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Calcul différentiel et intégral

<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>4.1 Introduction et motivation

4.2 Généralités sur les fonctions

4.2.1 Ensemble de définition et représentation graphique

4.2.2 Parité, imparité, périodicité

4.2.3 Opérations et monotonie

4.2.4 Fonctions majorées, minorées, bornées

4.3 Dérivation

4.3.1 Dérivée et tangente

4.3.2 Un mot sur les dérivées partielles

4.3.3 Monotonie et tableau de variations

4.3.4 Fonction réciproque

4.3.5 Classe C1 et dérivées d'ordre supérieur

4.4 Fonctions usuelles

4.4.1 Exponentielle et logarithme népérien

4.4.2 Logarithmes de base quelconque

4.4.3 Fonctions puissances

4.4.4 Croissances comparées

4.4.5 Fonctions circulaires réciproques

4.4.6 Fonctions hyperboliques

4.5 Dérivation des fonctions complexes d'une variable réelle

4.6 Calcul de primitives

4.6.1 Primitives et intégrales

4.6.2 Primitives usuelles

4.6.3 Primitives de eaxcos(bx) via l'exponentielle complexe

4.6.4 Primitives de ax2+bx+c1​

4.6.5 Intégration par parties

4.6.6 Changement de variable

4.7 Équations différentielles linéaires du premier ordre

4.7.1 Position du problème

4.7.2 Résolution de l'équation homogène

4.7.3 Structure des solutions et variation de la constante

4.7.4 Problème de Cauchy

4.8 Équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

4.8.1 Équation homogène

4.8.2 Équation avec second membre

4.8.3 Problème de Cauchy

<i class="fa-solid fa-dumbbell mr-2" style="color:#2E7559"></i>4.9 Exercices résolus

Niveau ⋆ (Application directe du cours)

Niveau ⋆⋆ (Application avec raisonnement intermédiaire)

Niveau ⋆⋆⋆ (Raisonnement subtil ou plusieurs étapes)

4.3.5 Classe $C^{1}$ et dérivées d'ordre supérieur

4.6.3 Primitives de $e^{a x} cos (b x)$ via l'exponentielle complexe

4.6.4 Primitives de $\frac{1}{a x ^{2} + b x + c}$

Niveau $⋆$ (Application directe du cours)

Niveau $⋆ ⋆$ (Application avec raisonnement intermédiaire)

Niveau $⋆ ⋆ ⋆$ (Raisonnement subtil ou plusieurs étapes)