Nombres complexes

La construction de $\mathbb{C}$ (par exemple comme ensemble de couples de réels) est hors programme : on admet son existence et on apprend à y calculer. Notons que la partie imaginaire est un nombre réel : $\mathrm{Im}(2+3i)=3$, et non $3i$.

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire :

$$a+ib=a^{\prime }+i{b}^{\prime }⟺a=a^{\prime }\text{ et }b=b^{\prime }(a,b,a^{\prime },b^{\prime }\in \mathbb{R}).$$

En particulier, $z$ est réel si et seulement si $\mathrm{Im}(z)=0$, et $z$ est imaginaire pur si et seulement si $\mathrm{Re}(z)=0$. L'ensemble des imaginaires purs est noté $i\mathbb{R}$.

Pour $z=a+ib$ et $z^{\prime }=a^{\prime }+i{b}^{\prime }$ en forme algébrique :

$$z+z^{\prime }=(a+a^{\prime })+i(b+b^{\prime }),z{z}^{\prime }=(a{a}^{\prime }-b{b}^{\prime })+i(a{b}^{\prime }+a^{\prime }b).$$

Tout nombre complexe non nul $z=a+ib$ admet un inverse :

$$\frac{1}{z}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}.$$

Muni de ces opérations, $\mathbb{C}$ est un corps : les règles de calcul usuelles (associativité, commutativité, distributivité) sont les mêmes que dans $\mathbb{R}$.

Pour écrire un quotient sous forme algébrique, on multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur :

$$\frac{2+i}{1-i}=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{1-i^2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i.$$

Pour tous $a,b,z\in \mathbb{C}$ et tout $n\in \mathbb{N}$ :

• Somme géométrique : si $z\ne 1$, $\sum _{k=0}^n{z}^k=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}$ (et $n+1$ si $z=1$).
• Factorisation : $a^n-b^n=(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}{a}^k{b}^{n-1-k}$   ($n\ge 1$).
• Binôme de Newton : $(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k{b}^{n-k}$.

$(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$, d'où $(1+i{)}^4=(2i{)}^2=-4$ et plus généralement $(1+i{)}^{4k}=(-4{)}^k$. Le binôme permet aussi de développer $(1+i{)}^n$ et d'en séparer parties réelle et imaginaire — nous y reviendrons avec la forme trigonométrique.

Soient $A$ et $B$ deux points d'affixes $a$ et $b$.

• L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $b-a$.
• L'affixe de la somme de deux vecteurs est la somme des affixes ; l'affixe de $\lambda \overrightarrow{w}$ ($\lambda \in \mathbb{R}$) est $\lambda$ fois l'affixe de $\overrightarrow{w}$.
• Le milieu de $[AB]$ a pour affixe $\frac{a+b}{2}$.

L'addition des nombres complexes se lit donc géométriquement comme l'addition des vecteurs (règle du parallélogramme).

Pour tous $z,z^{\prime }\in \mathbb{C}$ et tout $n\in \mathbb{N}$ :

$$\overline{z+z^{\prime }}=\overline{z}+\overline{z^{\prime }},\overline{z{z}^{\prime }}=\overline{z}\overline{z^{\prime }},\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime }}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime }}}(z^{\prime }\ne 0),\overline{z^n}={\overline{z}}^n,\overline{\overline{z}}=z.$$

Pour tout $z\in \mathbb{C}$ :

$$\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2},\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}.$$

En particulier :

$$z\in \mathbb{R}⟺\overline{z}=z,z\in i\mathbb{R}⟺\overline{z}=-z.$$

Ces caractérisations sont d'un usage constant : pour montrer qu'une quantité complexe est réelle, il est souvent plus rapide de vérifier qu'elle est égale à son conjugué que de calculer sa forme algébrique.

Si $M$ et $M_0$ sont les points d'affixes $z$ et $z_0$, alors $|z-z_0|$ est la distance $M_{0}M$. Par conséquent, pour $r>0$ :

• $\{z\in \mathbb{C}:|z-z_0|=r\}$ est le cercle de centre $M_0$ et de rayon $r$ ;
• $\{z\in \mathbb{C}:|z-z_0|\le r\}$ est le disque fermé de centre $M_0$ et de rayon $r$ ;
• $\{z\in \mathbb{C}:|z-z_0|<r\}$ est le disque ouvert correspondant (privé du cercle frontière).

Pour tous $z,z^{\prime }\in \mathbb{C}$ et tout $n\in \mathbb{N}$ :

$$|z{|}^2=z\overline{z},|\overline{z}|=|z|,|z{z}^{\prime }|=|z||z^{\prime }|,\left|\frac{z}{z^{\prime }}\right|=\frac{|z|}{|z^{\prime }|}(z^{\prime }\ne 0),|z^n|=|z{|}^n.$$

De plus $|z|=0⟺z=0$, et pour $z\ne 0$ :

$$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}.$$

La relation $|z{|}^2=z\overline{z}$ est l'outil de calcul central de cette section : c'est elle qui justifie la « multiplication par la quantité conjuguée » pour mettre un quotient sous forme algébrique, et c'est elle qui sert à démontrer l'inégalité triangulaire ci-dessous.

Pour tout $z\in \mathbb{C}$ :

$$|\mathrm{Re}(z)|\le |z|,|\mathrm{Im}(z)|\le |z|,$$

avec égalité dans la première si et seulement si $z$ est réel, dans la seconde si et seulement si $z$ est imaginaire pur.

Pour tous $z,z^{\prime }\in \mathbb{C}$ :

$$|z+z^{\prime }|\le |z|+|z^{\prime }|,$$

avec égalité si et seulement si $z^{\prime }=0$ ou s'il existe $\lambda \in {\mathbb{R}}_{+}$ tel que $z=\lambda z^{\prime }$ (on dit que $z$ et $z^{\prime }$ sont positivement colinéaires). On en déduit la seconde inégalité triangulaire :

$$||z|-|z^{\prime }||\le |z-z^{\prime }|.$$

Géométriquement, l'inégalité triangulaire dit qu'un côté d'un triangle est plus court que la somme des deux autres, le cas d'égalité correspondant à un triangle aplati — d'où son nom.

Pour tout $t\in \mathbb{R}$, $e^{it}\in \mathbb{U}$, et réciproquement tout élément de $\mathbb{U}$ s'écrit $e^{it}$ pour un certain $t\in \mathbb{R}$. De plus :

$$e^{it}=e^{i{t}^{\prime }}⟺t\equiv t^{\prime }[2\pi ].$$

Valeurs remarquables : $e^{i0}=1$, $e^{i\pi /2}=i$, $e^{i\pi }=-1$, $e^{i\pi /3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $e^{2i\pi }=1$.

La célèbre identité $e^{i\pi }+1=0$ relie en une ligne les cinq constantes fondamentales $0$, $1$, $i$, $\pi$ et $e$.

Pour tous $s,t\in \mathbb{R}$ :

$$e^{i(s+t)}=e^{is}{e}^{it}.$$

En conséquence, pour tous $s,t\in \mathbb{R}$ :

$$\frac{1}{e^{it}}=e^{-it}=\overline{e^{it}},\frac{e^{is}}{e^{it}}=e^{i(s-t)}.$$

Cette propriété justifie la notation exponentielle : la fonction $t\mapsto e^{it}$ transforme les sommes en produits, exactement comme l'exponentielle réelle. C'est tout son intérêt : les formules de trigonométrie deviennent des règles de calcul sur les puissances.

Pour tout $t\in \mathbb{R}$ :

$$\cos t=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2},\sin t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}.$$

Pour tous $t,p,q\in \mathbb{R}$ :

$$1+e^{it}=2\cos \frac{t}{2}{e}^{it/2},1-e^{it}=-2i\sin \frac{t}{2}{e}^{it/2},$$

$$e^{ip}+e^{iq}=2\cos \frac{p-q}{2}{e}^{i\frac{p+q}{2}},e^{ip}-e^{iq}=2i\sin \frac{p-q}{2}{e}^{i\frac{p+q}{2}}.$$

La figure explique la formule : le quadrilatère de sommets $0$, $1$, $1+e^{it}$, $e^{it}$ est un losange (côtés de longueur $1$), donc sa diagonale issue de $0$ est bissectrice : elle fait l'angle $\frac{t}{2}$ avec l'axe réel, et sa longueur est $2\cos \frac{t}{2}$.

Pour tous $p,q\in \mathbb{R}$ :

$$\cos p+\cos q=2\cos \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2},\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2},$$

$$\sin p+\sin q=2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2},\sin p-\sin q=2\cos \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}.$$

$${\cos }^{3}t={\left(\frac{e^{it}+e^{-it}}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}\left(e^{3it}+3e^{it}+3e^{-it}+e^{-3it}\right)=\frac{1}{8}\left(2\cos 3t+6\cos t\right),$$

d'où ${\cos }^{3}t=\frac{\cos 3t+3\cos t}{4}$.

$${\sin }^{2}t\cos t=\frac{(e^{it}-e^{-it}{)}^2}{(2i{)}^2}\cdot \frac{e^{it}+e^{-it}}{2}=-\frac{1}{8}\left(e^{2it}-2+e^{-2it}\right)\left(e^{it}+e^{-it}\right).$$

En développant, les termes en $e^{\pm it}$ se regroupent :

$${\sin }^{2}t\cos t=-\frac{1}{8}\left(e^{3it}+e^{-3it}-e^{it}-e^{-it}\right)=\frac{\cos t-\cos 3t}{4}.$$

Pour $t\in \mathbb{R}$ avec $t\not\equiv 0[2\pi ]$ et $n\in \mathbb{N}$ :

$$\sum _{k=0}^n\cos (kt)=\frac{\sin \frac{(n+1)t}{2}}{\sin \frac{t}{2}}\cos \frac{nt}{2},\sum _{k=0}^n\sin (kt)=\frac{\sin \frac{(n+1)t}{2}}{\sin \frac{t}{2}}\sin \frac{nt}{2}.$$

(Pour $t\equiv 0[2\pi ]$, les sommes valent évidemment $n+1$ et $0$.)

Pour tout $t\in \mathbb{R}$ et tout $n\in \mathbb{Z}$ :

$$(\cos t+i\sin t{)}^n=\cos (nt)+i\sin (nt),\text{c’est-aˋ-dire}{\left(e^{it}\right)}^n=e^{int}.$$

Développons par le binôme :

$$(\cos t+i\sin t{)}^3={\cos }^{3}t+3i{\cos }^{2}t\sin t-3\cos t{\sin }^{2}t-i{\sin }^{3}t.$$

Par Moivre, ce nombre vaut $\cos 3t+i\sin 3t$. En identifiant :

$$\begin{array}{c}\cos 3t={\cos }^{3}t-3\cos t{\sin }^{2}t=4{\cos }^{3}t-3\cos t,\\ \sin 3t=3{\cos }^{2}t\sin t-{\sin }^{3}t=3\sin t-4{\sin }^{3}t,\end{array}$$

en utilisant ${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t$ (resp. ${\cos }^{2}t=1-{\sin }^{2}t$).

Tout nombre complexe non nul $z$ s'écrit sous la forme :

$$z=r{e}^{i\theta },r>0,\theta \in \mathbb{R},$$

où $r=|z|$ est déterminé de manière unique, et $\theta$ est déterminé modulo $2\pi$ : c'est un argument de $z$, noté $\arg z$. Ainsi :

$$r{e}^{i\theta }=r^{\prime }{e}^{i{\theta }^{\prime }}(r,r^{\prime }>0)⟺r=r^{\prime }\text{ et }\theta \equiv {\theta }^{\prime }[2\pi ].$$

Le nombre $z=0$ n'a pas d'argument : « $\arg 0$ » n'a aucun sens. Par ailleurs, parmi tous les arguments de $z$, un seul appartient à $]-\pi ,\pi ]$ : on l'appelle parfois argument principal.

Pour tous $z,z^{\prime }\in {\mathbb{C}}^{\ast }$ et tout $n\in \mathbb{Z}$ :

$$\arg (z{z}^{\prime })\equiv \arg z+\arg z^{\prime }[2\pi ],\arg \frac{z}{z^{\prime }}\equiv \arg z-\arg z^{\prime }[2\pi ],$$

$$\arg (z^n)\equiv n\arg z[2\pi ],$$

$$\arg \overline{z}\equiv -\arg z[2\pi ],\arg (-z)\equiv \arg z+\pi [2\pi ].$$

Le parallèle avec les modules est frappant : le module transforme un produit en produit, l'argument le transforme en somme. Géométriquement, multiplier par $z^{\prime }=r^{\prime }{e}^{i{\theta }^{\prime }}$ revient à composer une rotation d'angle ${\theta }^{\prime }$ et une homothétie de rapport $r^{\prime }$ centrées en $O$ — nous y reviendrons en fin de chapitre.

Calculons $(1+i{)}^{20}$. Comme $1+i=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$ :

$$(1+i{)}^{20}=2^{10}{e}^{5i\pi }=1024\cdot e^{i\pi }=-1024.$$

Le calcul direct par le binôme aurait demandé vingt et un termes !

Soient $a,b$ deux réels non tous deux nuls. Il existe $A>0$ et $\phi \in \mathbb{R}$ tels que :

$$\forall t\in \mathbb{R},a\cos t+b\sin t=A\cos (t-\phi ),$$

avec $A=\sqrt{a^2+b^2}$ et $\phi$ un argument de $a+ib$.

Pour $\cos t+\sqrt{3}\sin t$ : ici $a+ib=1+i\sqrt{3}=2e^{i\pi /3}$, donc :

$$\cos t+\sqrt{3}\sin t=2\cos \left(t-\frac{\pi }{3}\right).$$

On en déduit immédiatement, par exemple, que le maximum de cette expression vaut $2$, atteint pour $t\equiv \frac{\pi }{3}[2\pi ]$, et que l'équation $\cos t+\sqrt{3}\sin t=\sqrt{2}$ se ramène à $\cos \left(t-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Cette transformation est omniprésente en physique : elle exprime que la superposition de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence est encore sinusoïdale, d'amplitude $A$ et de phase $\phi$.

Soit $P(z)=c_n{z}^n+\cdots +c_{1}z+c_0$ une fonction polynomiale à coefficients complexes ($c_n\ne 0$, $n\ge 1$), et soit $a\in \mathbb{C}$ une racine de $P$, c'est-à-dire $P(a)=0$. Alors il existe une fonction polynomiale $Q$ de degré $n-1$ telle que :

$$\forall z\in \mathbb{C},P(z)=(z-a)Q(z).$$

Conséquence immédiate et fondamentale : une équation polynomiale de degré $n$ a au plus $n$ racines dans $\mathbb{C}$, chaque racine trouvée faisant baisser le degré d'une unité. En pratique, ce résultat permet de résoudre une équation de degré $3$ dont on a deviné une « racine évidente » : on factorise, puis on résout l'équation de degré $2$ restante.

Tout nombre complexe non nul $Z$ admet exactement deux racines carrées, opposées l'une de l'autre : il existe $\delta \in {\mathbb{C}}^{\ast }$ tel que les solutions de $z^2=Z$ soient $z=\delta$ et $z=-\delta$.

Cherchons $z=x+iy$ tel que $z^2=3+4i$. Le système s'écrit :

$$x^2-y^2=3,2xy=4,x^2+y^2=|3+4i|=5.$$

Des première et troisième équations : $x^2=4$ et $y^2=1$, donc $x=\pm 2$, $y=\pm 1$. Comme $2xy=4>0$, $x$ et $y$ sont de même signe :

$$z=2+i\text{ou}z=-(2+i).$$

Vérification : $(2+i{)}^2=4+4i+i^2=3+4i$. ✓

Soient $a,b,c\in \mathbb{C}$ avec $a\ne 0$, et soit $\Delta =b^2-4ac$ le discriminant de l'équation $a{z}^2+bz+c=0$.

• Si $\Delta \ne 0$, soit $\delta$ une racine carrée de $\Delta$ : l'équation a deux solutions distinctes

$$z_1=\frac{-b-\delta }{2a},z_2=\frac{-b+\delta }{2a}.$$

• Si $\Delta =0$, l'équation a une unique solution (dite double) : $z_0=-\frac{b}{2a}$.

Dans tous les cas, on a la factorisation $a{z}^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$ (avec $z_1=z_2=z_0$ si $\Delta =0$).

Cas particulier essentiel : si $a,b,c$ sont réels et $\Delta <0$, alors $\delta =i\sqrt{-\Delta }$ convient et les solutions sont les deux complexes conjugués :

$$z_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-\Delta }}{2a}.$$

Ainsi, dans $\mathbb{C}$, toute équation du second degré a des solutions : c'est la raison d'être historique des nombres complexes.

Si $z_1,z_2$ sont les deux racines (éventuellement confondues) de $a{z}^2+bz+c=0$, alors :

$$z_1+z_2=-\frac{b}{a},z_1{z}_2=\frac{c}{a}.$$

Réciproquement, deux nombres complexes de somme $s$ et de produit $p$ sont exactement les racines de l'équation :

$$z^2-sz+p=0.$$

Résolvons $z^2-(1+i)z+i=0$. Le discriminant vaut :

$$\Delta =(1+i{)}^2-4i=2i-4i=-2i.$$

Cherchons une racine carrée $\delta =x+iy$ de $-2i$ : $x^2-y^2=0$, $2xy=-2$, $x^2+y^2=2$ donnent $x=1$, $y=-1$ (ou l'opposé) : $\delta =1-i$. Les solutions sont :

$$z=\frac{(1+i)\pm (1-i)}{2},\text{soit}{z}_1=1,z_2=i.$$

Contrôle par somme et produit : $z_1+z_2=1+i$ ✓ et $z_1{z}_2=i$ ✓.

Il y a exactement $n$ racines $n$-ièmes de l'unité :

$${\mathbb{U}}_n=\left\{e^{2ik\pi /n}:k\in \{0,1,\dots ,n-1\}\right\}=\left\{1,\omega ,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^{n-1}\right\}\text{ouˋ }\omega =e^{2i\pi /n}.$$

Les images des racines $n$-ièmes de l'unité sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité, dont un sommet est le point $1$ (figure ci-dessus pour $n=5$). Pour $n=2$ : ${\mathbb{U}}_2=\{1,-1\}$ ; pour $n=4$ : ${\mathbb{U}}_4=\{1,i,-1,-i\}$.

Pour $n=3$, on note traditionnellement $j=e^{2i\pi /3}=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$, de sorte que :

$${\mathbb{U}}_3=\{1,j,j^2\},j^3=1,j^2=\overline{j}=e^{-2i\pi /3},1+j+j^2=0.$$

La dernière identité vient de $0=j^3-1=(j-1)(1+j+j^2)$ avec $j\ne 1$.

Pour tout $n\ge 2$ :

$$\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{2ik\pi /n}=0.$$

Interprétation mécanique : $n$ forces unitaires régulièrement réparties autour d'un point s'équilibrent — le centre de gravité des sommets du polygone régulier est l'origine.

Soit $Z=\rho e^{i\alpha }$ ($\rho >0$) un nombre complexe non nul donné sous forme trigonométrique, et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. L'équation $z^n=Z$ admet exactement $n$ solutions :

$$z_k={\rho }^{1/n}{e}^{i\left(\frac{\alpha }{n}+\frac{2k\pi }{n}\right)},k\in \{0,1,\dots ,n-1\}.$$

Elles s'obtiennent toutes à partir de l'une d'elles, $z_0={\rho }^{1/n}{e}^{i\alpha /n}$, en la multipliant par les racines $n$-ièmes de l'unité : $z_k=z_0{\omega }^k$ avec $\omega =e^{2i\pi /n}$.

Écrivons $8i=8e^{i\pi /2}$. Les racines cubiques sont les $z_k=2e^{i\left(\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}\right)}$ pour $k\in \{0,1,2\}$, soit :