Nombres complexes

La construction de $\mathbb{C}$ (par exemple comme ensemble de couples de réels) est hors programme : on admet son existence et on apprend à y calculer. Notons que la partie imaginaire est un nombre réel : $\mathrm{Im}(2+3i)=3$, et non $3i$.

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire :

$$a+ib=a^{\prime }+i{b}^{\prime }⟺a=a^{\prime }\text{ et }b=b^{\prime }(a,b,a^{\prime },b^{\prime }\in \mathbb{R}).$$

En particulier, $z$ est réel si et seulement si $\mathrm{Im}(z)=0$, et $z$ est imaginaire pur si et seulement si $\mathrm{Re}(z)=0$. L'ensemble des imaginaires purs est noté $i\mathbb{R}$.

Pour $z=a+ib$ et $z^{\prime }=a^{\prime }+i{b}^{\prime }$ en forme algébrique :

$$z+z^{\prime }=(a+a^{\prime })+i(b+b^{\prime }),z{z}^{\prime }=(a{a}^{\prime }-b{b}^{\prime })+i(a{b}^{\prime }+a^{\prime }b).$$

Tout nombre complexe non nul $z=a+ib$ admet un inverse :

$$\frac{1}{z}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}.$$

Muni de ces opérations, $\mathbb{C}$ est un corps : les règles de calcul usuelles (associativité, commutativité, distributivité) sont les mêmes que dans $\mathbb{R}$.

Pour écrire un quotient sous forme algébrique, on multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur :

$$\frac{2+i}{1-i}=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{1-i^2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i.$$

Pour tous $a,b,z\in \mathbb{C}$ et tout $n\in \mathbb{N}$ :

• Somme géométrique : si $z\ne 1$, $\sum _{k=0}^n{z}^k=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}$ (et $n+1$ si $z=1$).
• Factorisation : $a^n-b^n=(a-b)\sum _{k=0}^{n-1}{a}^k{b}^{n-1-k}$   ($n\ge 1$).
• Binôme de Newton : $(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k{b}^{n-k}$.

$(1+i{)}^2=1+2i+i^2=2i$, d'où $(1+i{)}^4=(2i{)}^2=-4$ et plus généralement $(1+i{)}^{4k}=(-4{)}^k$. Le binôme permet aussi de développer $(1+i{)}^n$ et d'en séparer parties réelle et imaginaire — nous y reviendrons avec la forme trigonométrique.

Soient $A$ et $B$ deux points d'affixes $a$ et $b$.

• L'affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $b-a$.
• L'affixe de la somme de deux vecteurs est la somme des affixes ; l'affixe de $\lambda \overrightarrow{w}$ ($\lambda \in \mathbb{R}$) est $\lambda$ fois l'affixe de $\overrightarrow{w}$.
• Le milieu de $[AB]$ a pour affixe $\frac{a+b}{2}$.

L'addition des nombres complexes se lit donc géométriquement comme l'addition des vecteurs (règle du parallélogramme).

Pour tous $z,z^{\prime }\in \mathbb{C}$ et tout $n\in \mathbb{N}$ :

$$\overline{z+z^{\prime }}=\overline{z}+\overline{z^{\prime }},\overline{z{z}^{\prime }}=\overline{z}\overline{z^{\prime }},\overline{\left(\frac{z}{z^{\prime }}\right)}=\frac{\overline{z}}{\overline{z^{\prime }}}(z^{\prime }\ne 0),\overline{z^n}={\overline{z}}^n,\overline{\overline{z}}=z.$$

Pour tout $z\in \mathbb{C}$ :

$$\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2},\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}.$$

En particulier :

$$z\in \mathbb{R}⟺\overline{z}=z,z\in i\mathbb{R}⟺\overline{z}=-z.$$

Ces caractérisations sont d'un usage constant : pour montrer qu'une quantité complexe est réelle, il est souvent plus rapide de vérifier qu'elle est égale à son conjugué que de calculer sa forme algébrique.

Si $M$ et $M_0$ sont les points d'affixes $z$ et $z_0$, alors $|z-z_0|$ est la distance $M_{0}M$. Par conséquent, pour $r>0$ :

• $\{z\in \mathbb{C}:|z-z_0|=r\}$ est le cercle de centre $M_0$ et de rayon $r$ ;
• $\{z\in \mathbb{C}:|z-z_0|\le r\}$ est le disque fermé de centre $M_0$ et de rayon $r$ ;
• $\{z\in \mathbb{C}:|z-z_0|<r\}$ est le disque ouvert correspondant (privé du cercle frontière).

Pour tous $z,z^{\prime }\in \mathbb{C}$ et tout $n\in \mathbb{N}$ :

$$|z{|}^2=z\overline{z},|\overline{z}|=|z|,|z{z}^{\prime }|=|z||z^{\prime }|,\left|\frac{z}{z^{\prime }}\right|=\frac{|z|}{|z^{\prime }|}(z^{\prime }\ne 0),|z^n|=|z{|}^n.$$

De plus $|z|=0⟺z=0$, et pour $z\ne 0$ :

$$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}.$$

La relation $|z{|}^2=z\overline{z}$ est l'outil de calcul central de cette section : c'est elle qui justifie la « multiplication par la quantité conjuguée » pour mettre un quotient sous forme algébrique, et c'est elle qui sert à démontrer l'inégalité triangulaire ci-dessous.

Pour tout $z\in \mathbb{C}$ :

$$|\mathrm{Re}(z)|\le |z|,|\mathrm{Im}(z)|\le |z|,$$

avec égalité dans la première si et seulement si $z$ est réel, dans la seconde si et seulement si $z$ est imaginaire pur.

Pour tous $z,z^{\prime }\in \mathbb{C}$ :

$$|z+z^{\prime }|\le |z|+|z^{\prime }|,$$

avec égalité si et seulement si $z^{\prime }=0$ ou s'il existe $\lambda \in {\mathbb{R}}_{+}$ tel que $z=\lambda z^{\prime }$ (on dit que $z$ et $z^{\prime }$ sont positivement colinéaires). On en déduit la seconde inégalité triangulaire :

$$||z|-|z^{\prime }||\le |z-z^{\prime }|.$$

Géométriquement, l'inégalité triangulaire dit qu'un côté d'un triangle est plus court que la somme des deux autres, le cas d'égalité correspondant à un triangle aplati — d'où son nom.

Pour tout $t\in \mathbb{R}$, $e^{it}\in \mathbb{U}$, et réciproquement tout élément de $\mathbb{U}$ s'écrit $e^{it}$ pour un certain $t\in \mathbb{R}$. De plus :

$$e^{it}=e^{i{t}^{\prime }}⟺t\equiv t^{\prime }[2\pi ].$$

Valeurs remarquables : $e^{i0}=1$, $e^{i\pi /2}=i$, $e^{i\pi }=-1$, $e^{i\pi /3}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$, $e^{2i\pi }=1$.

La célèbre identité $e^{i\pi }+1=0$ relie en une ligne les cinq constantes fondamentales $0$, $1$, $i$, $\pi$ et $e$.

Pour tous $s,t\in \mathbb{R}$ :

$$e^{i(s+t)}=e^{is}{e}^{it}.$$

En conséquence, pour tous $s,t\in \mathbb{R}$ :

$$\frac{1}{e^{it}}=e^{-it}=\overline{e^{it}},\frac{e^{is}}{e^{it}}=e^{i(s-t)}.$$

Cette propriété justifie la notation exponentielle : la fonction $t\mapsto e^{it}$ transforme les sommes en produits, exactement comme l'exponentielle réelle. C'est tout son intérêt : les formules de trigonométrie deviennent des règles de calcul sur les puissances.

Pour tout $t\in \mathbb{R}$ :

$$\cos t=\frac{e^{it}+e^{-it}}{2},\sin t=\frac{e^{it}-e^{-it}}{2i}.$$

Pour tous $t,p,q\in \mathbb{R}$ :

$$1+e^{it}=2\cos \frac{t}{2}{e}^{it/2},1-e^{it}=-2i\sin \frac{t}{2}{e}^{it/2},$$

$$e^{ip}+e^{iq}=2\cos \frac{p-q}{2}{e}^{i\frac{p+q}{2}},e^{ip}-e^{iq}=2i\sin \frac{p-q}{2}{e}^{i\frac{p+q}{2}}.$$

La figure explique la formule : le quadrilatère de sommets $0$, $1$, $1+e^{it}$, $e^{it}$ est un losange (côtés de longueur $1$), donc sa diagonale issue de $0$ est bissectrice : elle fait l'angle $\frac{t}{2}$ avec l'axe réel, et sa longueur est $2\cos \frac{t}{2}$.

Pour tous $p,q\in \mathbb{R}$ :

$$\cos p+\cos q=2\cos \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2},\cos p-\cos q=-2\sin \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2},$$

$$\sin p+\sin q=2\sin \frac{p+q}{2}\cos \frac{p-q}{2},\sin p-\sin q=2\cos \frac{p+q}{2}\sin \frac{p-q}{2}.$$