Quand $f$ est décroissante, la suite oscille

La stratégie. Quand $f$ est décroissante, la suite $u_{n+1}=f(u_n)$ n'est jamais monotone (sauf si elle est constante) : elle saute d'un côté à l'autre de la limite. Mais $f\circ f$ est croissante, et les suites des rangs pairs et impairs vérifient chacune une récurrence $v_{n+1}=(f\circ f)(v_n)$ — le cas connu du cours. On les étudie séparément, puis on recolle.

a) Un intervalle stable. Soit $x\in \left[\frac{1}{2},1\right]$. Par décroissance de $f$ sur ${\mathbb{R}}_{+}$, $f(1)\le f(x)\le f\left(\frac{1}{2}\right)$, soit $\frac{1}{2}\le f(x)\le \frac{2}{3}$. Donc $f\left(\left[\frac{1}{2},1\right]\right)\subset \left[\frac{1}{2},\frac{2}{3}\right]\subset \left[\frac{1}{2},1\right]$ : l'intervalle est stable. Comme $u_0=1$ lui appartient, une récurrence immédiate montre que $u_n\in \left[\frac{1}{2},1\right]$ pour tout $n$. En particulier la suite est bien définie (aucun dénominateur ne s'annule) et bornée.

b) La composée est croissante. Composée de deux fonctions décroissantes, $g=f\circ f$ est croissante sur $\left[\frac{1}{2},1\right]$ (si $x\le y$ alors $f(x)\ge f(y)$ puis $f(f(x))\le f(f(y))$). Et, pour $x\ge 0$, $$g(x)=f\left(\frac{1}{1+x}\right)=\frac{1}{1+\frac{1}{1+x}}=\frac{1+x}{(1+x)+1}=\frac{1+x}{2+x}.$$

c) Monotonie des deux extraites. Posons $v_n=u_{2n}$ et $w_n=u_{2n+1}$. Alors $v_{n+1}=u_{2n+2}=f(f(u_{2n}))=g(v_n)$ et de même $w_{n+1}=g(w_n)$. Comme $g$ est croissante sur l'intervalle stable, chacune de ces suites est monotone, dans le sens donné par ses deux premiers termes ; démontrons-le pour $(v_n)$. On a $$v_1-v_0=u_2-u_0=\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}<0.$$ Montrons par récurrence que $v_{n+1}\le v_n$ pour tout $n$ : c'est vrai au rang $0$ ; si $v_{n+1}\le v_n$, alors par croissance de $g$, $g(v_{n+1})\le g(v_n)$, c'est-à-dire $v_{n+2}\le v_{n+1}$. Donc $(u_{2n})$ est décroissante. Pour les rangs impairs, $$w_1-w_0=u_3-u_1=\frac{3}{5}-\frac{1}{2}=\frac{1}{10}>0,$$ et la même récurrence montre que $(u_{2n+1})$ est croissante. Les deux extraites sont monotones, de sens contraires.

Le point délicat. C'est bien $g=f\circ f$ qui doit être croissante, pas $f$. Chercher à montrer que $(u_n)$ elle-même est monotone est une impasse : $u_0=1>u_1=\frac{1}{2}<u_2=\frac{2}{3}>u_3=\frac{3}{5}$, elle oscille. Le remède est structurel : on regarde deux pas à la fois.

d) Convergence et recollement. $(u_{2n})$ est décroissante et minorée par $\frac{1}{2}$ : elle converge vers un réel ${\ell }_1\in \left[\frac{1}{2},1\right]$ (théorème de la limite monotone, puis passage à la limite dans l'encadrement). $(u_{2n+1})$ est croissante et majorée par $1$ : elle converge vers ${\ell }_2\in \left[\frac{1}{2},1\right]$. La fonction $g$ est continue sur $\left[\frac{1}{2},1\right]$ (fraction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas) ; par le théorème « limite et point fixe », ${\ell }_1$ et ${\ell }_2$ sont des points fixes de $g$ : $$g(\ell )=\ell ⟺\frac{1+\ell }{2+\ell }=\ell ⟺1+\ell =2\ell +{\ell }^2⟺{\ell }^2+\ell -1=0.$$ Ce trinôme a pour discriminant $1+4=5$ et pour racines $\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$, dont une seule est positive : $\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,618$. Comme ${\ell }_1$ et ${\ell }_2$ sont tous deux dans $\left[\frac{1}{2},1\right]$, donc positifs, $${\ell }_1={\ell }_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$$ Les suites des rangs pairs et des rangs impairs convergent vers la même limite : par le théorème de recollement, $(u_n)$ converge, et $$u_n\underset{n\to +\infty }{\to }\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$$ (On remarque que l'équation ${\ell }^2+\ell -1=0$ est aussi celle des points fixes de $f$ : ici $f$ et $f\circ f$ ont les mêmes points fixes, ce qui n'est pas automatique et dispense de départager ${\ell }_1$ et ${\ell }_2$.)

e) Fibonacci. Les premiers termes sont $$u_0=1,u_1=\frac{1}{2},u_2=\frac{2}{3},u_3=\frac{3}{5},u_4=\frac{5}{8},u_5=\frac{8}{13},u_6=\frac{13}{21}.$$ On reconnaît des quotients de termes consécutifs de la suite de Fibonacci $F_1=1,F_2=1,F_3=2,F_4=3,F_5=5,F_6=8,F_7=13,F_8=21$ : $u_n=\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}$. Ce n'est pas un hasard : si $u_n=\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}$, alors $$u_{n+1}=\frac{1}{1+\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}}=\frac{F_{n+2}}{F_{n+2}+F_{n+1}}=\frac{F_{n+2}}{F_{n+3}},$$ et la formule se propage par récurrence. La limite $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ est l'inverse du nombre d'or $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, ce qui est cohérent avec le résultat du cours $\frac{F_{n+1}}{F_n}\to \phi$. Numériquement, $u_{11}=\frac{144}{233}\approx 0,61803$ contre $\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,61803$ : les rangs pairs descendent vers la limite ($1>\frac{2}{3}>\frac{5}{8}>\dots$), les rangs impairs y montent ($\frac{1}{2}<\frac{3}{5}<\frac{8}{13}<\dots$).

Ce que l'exercice installe. Le deuxième régime de $u_{n+1}=f(u_n)$ : si $f$ est croissante, la suite est monotone ; si $f$ est décroissante, elle oscille et l'on travaille avec $f\circ f$ sur les rangs pairs et impairs, avant de recoller par le théorème « pairs et impairs de même limite ». Le dessin en toile d'araignée, qui spirale autour du point fixe, est l'image de ce régime. Et l'on tient au passage la fraction continue du nombre d'or, $\phi -1=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots }}$, dont les réduites sont les quotients de Fibonacci.