Montrer qu'une suite convergente à valeurs dans ℤ est stationnaire.

Stratégie : revenir à la définition de la limite, avec un $\epsilon$ choisi pour exploiter la discrétion de $\mathbb{Z}$. L'idée tient en une phrase : le seul entier de valeur absolue strictement inférieure à $1$ est $0$, donc deux entiers assez proches sont égaux.

La démonstration. Soit $(u_n)$ une suite d'entiers convergeant vers $\ell \in \mathbb{R}$. Appliquons la définition de la limite avec $$\epsilon =\frac{1}{3}:\exists N\in \mathbb{N},\forall n⩾N,|u_n-\ell |<\frac{1}{3}.$$ Soient alors $m,n⩾N$. L'inégalité triangulaire donne $$|u_n-u_m|⩽|u_n-\ell |+|\ell -u_m|<\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}<1.$$

⚠️ Le point délicat est ici, et il est arithmétique, non analytique. $u_n-u_m$ est un entier relatif, et $\mathbb{Z}$ ne contient aucun élément dans $]-1,1[$ hormis $0$. De $|u_n-u_m|<1$ on conclut donc $$u_n-u_m=0.$$ C'est le seul endroit où l'hypothèse « à valeurs dans $\mathbb{Z}$ » intervient — et sans elle tout s'effondre.

Ainsi $u_n=u_N$ pour tout $n⩾N$ : la suite est stationnaire à partir du rang $N$. Sa limite est alors la valeur constante : $$\boxed{\ell =u_N\in \mathbb{Z}}$$ (en particulier, la limite d'une suite convergente d'entiers est un entier).

Pourquoi $\frac{1}{3}$ ? Tout $\epsilon$ tel que $2\epsilon ⩽1$ convient : on a besoin de $|u_n-u_m|<1$, donc de $2\epsilon ⩽1$. La valeur $\frac{1}{3}$ est simplement confortable ; $\frac{1}{4}$ ou $\frac{1}{2}$ marcheraient aussi. En revanche $\epsilon =1$ ne marche pas : il donnerait $|u_n-u_m|<2$, et $\pm 1$ sont des entiers de valeur absolue $<2$.

Contrôle. La suite $u_n=\lfloor \frac{10}{n}\rfloor$ est à valeurs entières et tend vers $0$ ; effectivement $u_n=0$ dès $n=11$ : elle est stationnaire ✓. À l'inverse $u_n=\frac{1}{n}$ converge vers $0$ sans être stationnaire — elle n'est pas à valeurs entières, l'hypothèse est bien essentielle ✓. Et $u_n=(-1{)}^n$ est à valeurs entières mais non stationnaire : elle ne converge donc pas, ce qu'on savait ✓.

Ce que l'exercice installe. Un ensemble discret (ici $\mathbb{Z}$, plus tard $\mathbb{N}$, ou l'ensemble des valeurs d'une fonction en escalier) rend la convergence triviale : converger, c'est y être constant à partir d'un rang. C'est le mécanisme derrière « une suite d'entiers strictement décroissante n'existe pas » et derrière la descente infinie. Le geste — choisir soi-même le $\epsilon$ pour qu'il rencontre une propriété de l'ensemble d'arrivée — est le cœur du maniement de la définition.