Convergence par limite monotone

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 5 — Nombres réels et suites numériques · C. Suites monotones et suites adjacentes

Énoncé

Soit $u_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{n + k}$ . Montrer que $(u_{n})$ converge.

Corrigé

Monotonie : en passant de $n$ à $n + 1$ , la somme perd le terme $\frac{1}{n + 1}$ et gagne $\frac{1}{2 n + 1} + \frac{1}{2 n + 2}$ : $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2} > 0 :$ la suite est strictement croissante.

Majoration : chacun des $n$ termes est au plus $\frac{1}{n + 1}$ , donc $u_{n} \leq \frac{n}{n + 1} < 1$ .

Croissante et majorée, $(u_{n})$ converge par le théorème de la limite monotone. (On montrera plus tard que sa limite est $ln 2$ — mais la convergence, elle, est déjà acquise.)

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.