Convergence par limite monotone

Monotonie : en passant de $n$ à $n+1$, la somme perd le terme $\frac{1}{n+1}$ et gagne $\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}$ : $$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}>0:$$ la suite est strictement croissante.

Majoration : chacun des $n$ termes est au plus $\frac{1}{n+1}$, donc $u_n\le \frac{n}{n+1}<1$.

Croissante et majorée, $(u_n)$ converge par le théorème de la limite monotone. (On montrera plus tard que sa limite est $\ln 2$ — mais la convergence, elle, est déjà acquise.)