Divergence quantifiée

Exercice classique · niveau 3 (difficile) · mathématiques MPSI, chapitre 5 — Nombres réels et suites numériques · G. Suites particulières

Énoncé

Soit $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = u_{n} + \frac{1}{u _{n}}$ . Montrer que $u_{n} \to + \infty$ , puis que $u_{n} \geq 2 n + 1$ pour tout $n$ .

Corrigé

La suite est strictement positive et strictement croissante ( $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{1}{u _{n}} > 0$ ). Si elle convergeait vers $ℓ$ , on aurait $ℓ \geq 1 > 0$ et, par continuité : $ℓ = ℓ + \frac{1}{ℓ}$ , soit $\frac{1}{ℓ} = 0$ — absurde. Croissante et non convergente, elle tend vers $+ \infty$ .

Aspect quantitatif : élevons la récurrence au carré : $u_{n + 1}^{2} = u_{n}^{2} + 2 + \frac{1}{u _{n}^{2}} \geq u_{n}^{2} + 2.$ Par récurrence, $u_{n}^{2} \geq 2 n + 1$ , d'où $u_{n} \geq 2 n + 1$ : la suite diverge « au moins comme $2 n$ ».

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.