La constante d'Euler

La stratégie. On ne cherche pas la limite de $(u_n)$ — on ne sait pas la calculer, et personne ne sait aujourd'hui si elle est rationnelle. On prouve qu'elle existe, par le théorème de la limite monotone : décroissante et minorée. L'encadrement du logarithme sert deux fois, une fois par membre.

a) L'encadrement du logarithme. L'inégalité $\ln (1+t)\le t$ appliquée à $t=\frac{1}{n}$ donne directement $\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\le \frac{1}{n}$ : c'est le membre de droite.

Pour le membre de gauche, appliquons la même inégalité à $t=-\frac{1}{n+1}$, qui est bien strictement supérieur à $-1$ : $$\ln \left(1-\frac{1}{n+1}\right)\le -\frac{1}{n+1},\text{c’est-aˋ-dire}\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)\le -\frac{1}{n+1}.$$ Or $\ln \left(\frac{n}{n+1}\right)=-\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)=-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$. En multipliant par $-1$, ce qui renverse l'inégalité : $\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\ge \frac{1}{n+1}$. L'encadrement est établi.

b) La décroissance. Calculons la différence de deux termes consécutifs : $$u_{n+1}-u_n=(H_{n+1}-\ln (n+1))-(H_n-\ln n)=\frac{1}{n+1}-(\ln (n+1)-\ln n)=\frac{1}{n+1}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right).$$ Or le membre de gauche de l'encadrement dit précisément $\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\ge \frac{1}{n+1}$. Donc $u_{n+1}-u_n\le 0$ : la suite est décroissante.

c) La minoration, par télescopage. Écrivons $\ln n$ comme une somme télescopique : pour $n\ge 2$, $$\ln n=\ln n-\ln 1=\sum _{k=1}^{n-1}(\ln (k+1)-\ln k)=\sum _{k=1}^{n-1}\ln \left(1+\frac{1}{k}\right).$$ Cette fois c'est le membre de droite de l'encadrement qui travaille, $\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)\le \frac{1}{k}$, terme à terme : $$\ln n\le \sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}=H_{n-1}.$$ Par conséquent $$u_n=H_n-\ln n\ge H_n-H_{n-1}=\frac{1}{n}>0.$$ Pour $n=1$, $u_1=1-\ln 1=1\ge 1$ : l'inégalité vaut aussi. Ainsi $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$ : par le théorème de la limite monotone, elle converge, vers un réel $\gamma \ge 0$. C'est la constante d'Euler, $$\gamma =\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n\right)\approx 0,5772.$$

Le point délicat. On n'obtient pas « $u_n\ge 0$ » de justesse : on obtient $u_n\ge \frac{1}{n}$, ce qui est plus fort et plus facile à vérifier. Et surtout, les deux termes $H_n$ et $\ln n$ tendent chacun vers $+\infty$ ; c'est leur différence qui converge, et rien dans les opérations sur les limites ne le prédit — la forme « $+\infty -(+\infty )$ » est indéterminée. La convergence vient de l'encadrement fin du logarithme, pas d'un théorème général.

d) Deux suites adjacentes. Calculons de même $$v_{n+1}-v_n=\frac{1}{n+1}-(\ln (n+2)-\ln (n+1))=\frac{1}{n+1}-\ln \left(1+\frac{1}{n+1}\right)\ge 0,$$ par le membre de droite de l'encadrement appliqué au rang $n+1$ : $(v_n)$ est croissante. Enfin $$u_n-v_n=\ln (n+1)-\ln n=\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\underset{n\to +\infty }{\to }\ln 1=0,$$ par continuité du logarithme en $1$. Les trois conditions sont réunies : $(v_n)$ croissante, $(u_n)$ décroissante, $u_n-v_n\to 0$. Les deux suites sont adjacentes, de limite commune $\gamma$, et le théorème des suites adjacentes fournit l'encadrement, valable à tout rang : $$v_n\le \gamma \le u_n.$$ Avec $n=10$ : $v_{10}=H_{10}-\ln 11\approx 2,9290-2,3979=0,5311$ et $u_{10}=H_{10}-\ln 10\approx 2,9290-2,3026=0,6264$. Donc $$0,531\le \gamma \le 0,627,$$ ce qui est cohérent avec $\gamma \approx 0,5772$. L'encadrement a pour largeur $\ln \left(1+\frac{1}{10}\right)\approx 0,095$ : la convergence est lente, et il faudrait $n=1000$ pour gagner deux décimales (la largeur $\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ est de l'ordre de $\frac{1}{n}$).

Le quotient. Comme $(u_n)$ converge, elle est bornée : $0\le u_n\le u_1=1$. Pour $n\ge 2$, $$\frac{H_n}{\ln n}=\frac{\ln n+u_n}{\ln n}=1+\frac{u_n}{\ln n},$$ et $\frac{u_n}{\ln n}\to 0$ comme quotient d'une suite bornée par une suite tendant vers $+\infty$. Donc $\frac{H_n}{\ln n}\to 1$ : la série harmonique diverge exactement comme le logarithme.

Ce que l'exercice installe. D'abord un résultat célèbre : $H_n=\ln n+\gamma +{\epsilon }_n$ avec ${\epsilon }_n\to 0$. Ensuite une méthode générale : pour comparer une somme $\sum \frac{1}{k}$ au logarithme, on encadre le terme général $\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)$ et l'on télescope — c'est le principe de la comparaison entre une somme et une intégrale, que les chapitres d'intégration et de séries systématiseront. Enfin le réflexe de fabriquer une seconde suite adjacente pour transformer une convergence qualitative en un encadrement quantitatif.