Suite de Fibonacci. Établir la formule de Binet Fₙ = (φⁿ - φ'ⁿ)/√5, et…

Stratégie : l'équation caractéristique, puis la détermination des deux constantes par les deux conditions initiales, et enfin une mise en facteur du terme dominant pour la limite du quotient.

Les données. La suite de Fibonacci est définie par $$F_0=0,F_1=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n.$$

1) L'équation caractéristique. C'est une récurrence linéaire d'ordre $2$ à coefficients constants ; on cherche les raisons géométriques $r^n$ solutions, ce qui donne $$r^2=r+1⟺r^2-r-1=0,\Delta =1+4=5>0,$$ d'où deux racines réelles distinctes $$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,6180\text{et}{\phi }^{\prime }=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,6180.$$ Deux relations à retenir, lues sur les coefficients (somme et produit des racines) : $$\phi +{\phi }^{\prime }=1,\phi {\phi }^{\prime }=-1,\text{et donc}\phi -{\phi }^{\prime }=\sqrt{5}.$$ Le cours donne alors la forme générale des solutions : $F_n=\lambda {\phi }^n+\mu {\phi }^{\prime n}$.

2) Les constantes. Les deux conditions initiales fournissent un système $2\times 2$ : $$\{\begin{array}{ll}n=0:& \lambda +\mu =0\\ n=1:& \lambda \phi +\mu {\phi }^{\prime }=1\end{array}$$ La première donne $\mu =-\lambda$ ; en reportant, $\lambda (\phi -{\phi }^{\prime })=1$, soit $\lambda \sqrt{5}=1$. D'où $\lambda =\frac{1}{\sqrt{5}}$, $\mu =-\frac{1}{\sqrt{5}}$ et la formule de Binet : $$\boxed{F_n=\frac{{\phi }^n-{\phi }^{\prime n}}{\sqrt{5}}}$$

3) Le quotient $\frac{F_{n+1}}{F_n}$. Pour $n⩾1$, $F_n⩾1>0$ : le quotient a un sens. Mettons ${\phi }^n$ en facteur au numérateur et au dénominateur : $$\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{{\phi }^{n+1}-{\phi }^{\prime n+1}}{{\phi }^n-{\phi }^{\prime n}}=\phi \cdot \frac{1-\frac{{\phi }^{\prime }}{\phi }{\left(\frac{{\phi }^{\prime }}{\phi }\right)}^n}{1-{\left(\frac{{\phi }^{\prime }}{\phi }\right)}^n}.$$ Or $$\left|\frac{{\phi }^{\prime }}{\phi }\right|=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}=\frac{(\sqrt{5}-1{)}^2}{4}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0,382<1,$$ donc ${\left(\frac{{\phi }^{\prime }}{\phi }\right)}^n\to 0$, et numérateur comme dénominateur tendent vers $1$ : $$\boxed{\frac{F_{n+1}}{F_n}\underset{n\to +\infty }{\to }\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\text{(le nombre d’or)}$$

⚠️ Le point délicat : $|{\phi }^{\prime }|<1<\phi$, et c'est tout le mécanisme. La seconde racine ne « disparaît » pas parce qu'elle est petite en valeur absolue, mais parce que ${\phi }^{\prime n}\to 0$ alors que ${\phi }^n\to +\infty$. C'est le rapport des deux qui compte, jamais la taille de l'une. Deuxième précaution, souvent oubliée : pour écrire $\frac{F_{n+1}}{F_n}$ il faut savoir $F_n\ne 0$, ce qui est vrai à partir de $n=1$ mais faux en $n=0$.

Contrôle. La formule de Binet est une expression pleine de $\sqrt{5}$ qui doit rendre un entier — c'est le meilleur test qui soit. $n=10$ : $$\frac{{\phi }^{10}-{\phi }^{\prime 10}}{\sqrt{5}}=\frac{122,9919-0,0081}{2,2360680}=55=F_{10}✓$$ La vérification a été menée pour $n=0,\dots ,79$ : aucun écart supérieur à $10^{-20}$. Pour la limite, $\frac{F_{41}}{F_{40}}=\frac{165580141}{102334155}=1,61803398874989$, soit $\phi$ à quinze décimales ✓.

Corollaire amusant, conséquence directe de $|{\phi }^{\prime n}/\sqrt{5}|<\frac{1}{2}$ pour $n⩾1$ : $F_n$ est l'entier le plus proche de $\frac{{\phi }^n}{\sqrt{5}}$. Pour $n=10$ : $\frac{122,9919}{2,2360680}=55,0036\to 55$ ✓.

Ce que l'exercice installe. Le mode d'emploi complet d'une récurrence linéaire d'ordre $2$ : équation caractéristique, forme générale, système sur les conditions initiales. Et il montre pourquoi la racine de plus grand module gouverne le comportement asymptotique — idée qu'on retrouvera à l'identique pour les puissances de matrices et les systèmes dynamiques linéaires. Enfin, le quotient de deux termes consécutifs qui converge vers la racine dominante est le principe de la méthode de la puissance en calcul numérique.