Divergence par suites extraites

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 5 — Nombres réels et suites numériques · D. Suites extraites et théorème de Bolzano-Weierstrass

Énoncé

Montrer que la suite $u_{n} = cos \frac{nπ}{3}$ diverge.

Corrigé

Considérons les deux extractrices $φ (n) = 6 n$ et $ψ (n) = 6 n + 3$ : $u_{6 n} = cos (2 nπ) = 1 ⟶ 1, u_{6 n + 3} = cos (2 nπ + π) = - 1 ⟶ - 1.$ Deux suites extraites ont des limites différentes : $(u_{n})$ n'a pas de limite. (La suite est en fait périodique de période $6$ et non constante, ce qui interdit toute convergence.)

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