Bornes supérieure et inférieure

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques MPSI, chapitre 5 — Nombres réels et suites numériques · A. Nombres réels, bornes supérieures et inférieures

Énoncé

Déterminer, si elles existent, les bornes supérieure et inférieure de : $X = {(- 1)^{n} + \frac{1}{n} : n \in N^{*}} .$ Sont-elles atteintes ?

Corrigé

Séparons selon la parité. Les termes pairs sont $1 + \frac{1}{2 k} \leq \frac{3}{2}$ , avec égalité pour $n = 2$ : le maximum des termes pairs est $\frac{3}{2}$ . Les termes impairs sont $- 1 + \frac{1}{2 k + 1} \leq 0$ , tous majorés par $\frac{3}{2}$ également. Donc $sup X = max X = \frac{3}{2}$ , atteint en $n = 2$ .

Pour la borne inférieure : tous les termes sont $> - 1$ (car $\frac{1}{n} > 0$ ), et les termes impairs $- 1 + \frac{1}{2 k + 1}$ s'approchent de $- 1$ d'aussi près que l'on veut. Donc $in f X = - 1$ , non atteint : $X$ n'a pas de minimum.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.