mathématiques MPSI · Chapitre 5 · Exercice de TD

La méthode de Héron

Nombres réels et suites numériques · G. Suites particulières · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $u_{0} = 1$ et, pour tout $n$ , $u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{2}{u _{n}})$ . On pose $f (x) = \frac{1}{2} (x + \frac{2}{x})$ sur $] 0, + \infty [$ .

a) Montrer que pour tout $x > 0$ , $f (x) - 2 = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{2 x}$ , et en déduire que $u_{n} \geq 2$ pour tout $n \geq 1$ .

b) Montrer que $(u_{n})_{n \geq 1}$ est décroissante, puis qu'elle converge vers $2$ .

c) Établir, pour tout $n \geq 1$ , la majoration $0 \leq u_{n + 1} - 2 \leq \frac{( u _{n} - 2 ) ^{2}}{2 2} .$

d) On note $e_{n} = u_{n} - 2$ et $c = \frac{1}{2 2}$ . Montrer que $c e_{n} \leq (c e_{1})^{2^{n - 1}}$ pour $n \geq 1$ , puis, en utilisant $2 \geq 1, 41$ , que $e_{n} \leq 22 \cdot 3 0^{- 2^{n - 1}}$ . Combien d'itérations garantissent cent décimales exactes ?

Corrigé de la question 1

La stratégie. C'est le plan d'étude du cours — intervalle stable, points fixes, monotonie, conclusion — mais l'exercice porte surtout sur l'aspect quantitatif : une identité exacte pour l'erreur, qui montre qu'elle est élevée au carré à chaque étape.

a) La minoration. Pour $x > 0$ : $f (x) - 2 = \frac{x}{2} + \frac{1}{x} - 2 = \frac{x ^{2} - 2 2 x + 2}{2 x} = \frac{( x - 2 ) ^{2}}{2 x},$ en reconnaissant le carré $(x - 2)^{2} = x^{2} - 22 x + 2$ . Un carré divisé par un réel strictement positif est positif : $f (x) \geq 2$ pour tout $x > 0$ . Par récurrence, la suite est bien définie et strictement positive ( $u_{0} = 1 > 0$ , et $u_{n} > 0$ entraîne $u_{n + 1} = f (u_{n}) > 0$ ) ; et pour $n \geq 1$ , $u_{n} = f (u_{n - 1}) \geq 2$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Montrer que $(u_{n})_{n \geq 1}$ est décroissante, puis qu'elle converge vers $2$ .

Élève

Pour le b), j'ai pensé à montrer que $f$ est croissante sur $[2, + \infty [$ et à comparer $u_{1}$ et $u_{2}$ , puis à propager par récurrence. Ça me paraît lourd : y a-t-il plus direct pour la décroissance ?

Ta méthode fonctionnerait, mais tu peux étudier directement le signe de $u_{n + 1} - u_{n} = f (u_{n}) - u_{n}$ . Sur quel intervalle se trouve $u_{n}$ d'après le a), et quel est le signe de $f (x) - x$ sur cet intervalle ?

Élève

J'obtiens $f (x) - x = \frac{2 - x ^{2}}{2 x}$ , et comme $u_{n} \geq 2$ pour $n \geq 1$ , j'ai le signe voulu. Pour la limite, je pensais dire qu'elle vaut $2$ puisque la suite est minorée par $2$ .

La minoration ne donne que $ℓ \geq 2$ : une suite décroissante minorée par $2$ pourrait converger vers $2$ . Quelle équation la limite $ℓ$ vérifie-t-elle, et qu'est-ce qui t'autorise à passer à la limite dans $u_{n + 1} = f (u_{n})$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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