Montrer que l'ensemble { r + √2 : r ∈ ℚ } est dense dans ℝ et ne…

Stratégie : une translation. L'ensemble $X=\left\{r+\sqrt{2}:r\in \mathbb{Q}\right\}$ est le translaté de $\mathbb{Q}$ par $\sqrt{2}$, et la densité, comme la notion d'intervalle, est invariante par translation. Tout l'exercice consiste à s'en apercevoir.

1) $X$ ne contient que des irrationnels. Raisonnons par l'absurde : supposons qu'un élément $x=r+\sqrt{2}$ de $X$ (avec $r\in \mathbb{Q}$) soit rationnel. Alors $$\sqrt{2}=x-r$$ serait une différence de deux rationnels, donc un rationnel — $\mathbb{Q}$ étant stable par soustraction. C'est contraire à l'irrationalité de $\sqrt{2}$. Donc $$X\subset \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}.$$

⚠️ Le point délicat : c'est la stabilité de $\mathbb{Q}$ par soustraction qui fait tout. L'énoncé serait faux avec $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ à la place de $\mathbb{Q}$ : $\left\{y+\sqrt{2}:y\text{ irrationnel}\right\}$ contient $-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0$, qui est rationnel. Les irrationnels ne forment pas un groupe pour l'addition ; les rationnels si, et c'est le seul ingrédient arithmétique de la démonstration (avec $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$).

2) $X$ est dense dans $\mathbb{R}$. Soient $a<b$ deux réels ; montrons que $X$ rencontre $]a,b[$. Appliquons la densité de $\mathbb{Q}$ à l'intervalle ouvert non vide $\left]a-\sqrt{2},b-\sqrt{2}\right[$ : il existe $r\in \mathbb{Q}$ tel que $$a-\sqrt{2}<r<b-\sqrt{2}.$$ En ajoutant $\sqrt{2}$ aux trois membres — une addition ne change pas le sens des inégalités — $$a<r+\sqrt{2}<b,$$ et $r+\sqrt{2}\in X$. Tout intervalle ouvert non vide rencontre donc $X$ : $$\boxed{X=\mathbb{Q}+\sqrt{2}\text{ est dense dans }\mathbb{R}\text{ et }X\subset \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}}$$

3) La densité des irrationnels. Tout intervalle ouvert non vide rencontre $X$, et $X$ est contenu dans $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ : tout intervalle ouvert non vide rencontre donc $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$, qui est dense dans $\mathbb{R}$. C'est une seconde démonstration de ce fait, plus courte que celle du cours, et qui a l'avantage d'exhiber l'irrationnel : on sait le fabriquer, ce n'est pas une existence abstraite.

Contrôle. Cherchons un irrationnel dans $]3,1415,3,1416[$. Il faut $r\in \mathbb{Q}$ avec $r\in \left]3,1415-1,4142136,3,1416-1,4142136\right[=\left]1,7272864,1,7273864\right[$ ; le décimal $r=1,7273$ convient, et $$1,7273+\sqrt{2}=3,1415136\in ]3,1415,3,1416[✓$$ et ce nombre est irrationnel puisqu'il s'écrit rationnel $+\sqrt{2}$ ✓.

Ce que l'exercice installe. Une partie dense n'a pas besoin d'être « grosse » : $X$ est dénombrable comme $\mathbb{Q}$, et pourtant il vient toucher tout intervalle. Le procédé — translater un ensemble dense connu — fabrique à volonté de nouveaux ensembles denses ($\mathbb{Q}+\pi$, les décimaux, les dyadiques, $\left\{\frac{p}{2^n}\right\}$), et c'est exactement la construction qu'on réutilise pour montrer que $\left\{a+b\sqrt{2}:a,b\in \mathbb{Z}\right\}$ est dense — un résultat autrement moins évident.