Problème — Le théorème de Cesàro, le lemme de l'escalier et $u_{n+1}=u_n+1/u_n$

1) Le théorème de Cesàro. Soit $\epsilon >0$.

Étape 1 — on fige $N$. Comme $u_n\to \ell$, il existe $N\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tel que pour tout $k>N$, $|u_k-\ell |\le \frac{\epsilon }{2}$. Ce $N$ est désormais une constante, et avec lui la quantité $$A=\sum _{k=1}^N|u_k-\ell |,$$ somme d'un nombre fixe de termes : $A$ ne dépend pas de $n$.

Étape 2 — on coupe. Pour $n>N$, écrivons $c_n-\ell =\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(u_k-\ell )$ (car $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\ell =\ell$), et appliquons l'inégalité triangulaire en séparant les $N$ premiers termes des suivants : $$|c_n-\ell |\le \frac{1}{n}\sum _{k=1}^N|u_k-\ell |+\frac{1}{n}\sum _{k=N+1}^n|u_k-\ell |\le \frac{A}{n}+\frac{n-N}{n}\cdot \frac{\epsilon }{2}\le \frac{A}{n}+\frac{\epsilon }{2}.$$

Étape 3 — on fait tendre $n$. Puisque $A$ est fixe, $\frac{A}{n}\to 0$ : il existe $N^{\prime }\ge N$ tel que $\frac{A}{n}\le \frac{\epsilon }{2}$ pour $n\ge N^{\prime }$. Alors, pour tout $n\ge N^{\prime }$, $$|c_n-\ell |\le \frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$$ Ceci valant pour tout $\epsilon >0$, $c_n\to \ell$.

Le point délicat. $N$ est choisi avant que $n$ ne parte à l'infini. Le premier paquet contient toujours les mêmes $N$ termes — ceux, éventuellement énormes, du début de la suite — mais on les divise par un $n$ qui grandit : leur contribution s'écrase. Le second paquet contient beaucoup de termes, mais tous petits. L'erreur classique consiste à faire dépendre $N$ de $n$, ce qui interdit de dire « $A$ est une constante » et fait s'effondrer l'étape 3.

2) Le cas de la limite infinie. Soit $A_0>0$ un réel. Comme $u_n\to +\infty$, il existe $N$ tel que $u_k\ge 2A_0$ pour tout $k>N$. Notons $S_N=u_1+\cdots +u_N$, constante fixée avec $N$ (éventuellement négative). Pour $n>N$, en minorant les termes de rang $>N$ : $$c_n=\frac{S_N}{n}+\frac{1}{n}\sum _{k=N+1}^n{u}_k\ge \frac{S_N}{n}+\frac{n-N}{n}\cdot 2A_0=2A_0+\frac{S_N-2A_{0}N}{n}.$$ Le second terme tend vers $0$ quand $n\to +\infty$, à $N$ figé : il existe $N^{\prime }\ge N$ tel que $\frac{S_N-2A_{0}N}{n}\ge -A_0$ pour $n\ge N^{\prime }$. Alors $c_n\ge 2A_0-A_0=A_0$ pour tout $n\ge N^{\prime }$. Ceci valant pour tout $A_0>0$, $c_n\to +\infty$ — c'est le même découpage, avec une minoration à la place d'une majoration.

3) La réciproque est fausse. Prenons $u_n=(-1{)}^n$, qui diverge (les termes de rang pair tendent vers $1$, ceux de rang impair vers $-1$). Pourtant les termes se compensent deux à deux : $$c_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(-1{)}^k=\{\begin{array}{ll}0& \text{si }n\text{ est pair,}\\ -\frac{1}{n}& \text{si }n\text{ est impair,}\end{array}$$ donc $|c_n|\le \frac{1}{n}\to 0$ et $c_n\to 0$. La moyenne converge alors que la suite oscille : la moyenne de Cesàro régularise.

4) Le lemme de l'escalier. Posons, pour $n\ge 1$, $u_n=v_n-v_{n-1}$. La suite $(u_n{)}_{n\ge 1}$ tend vers $\ell$ : c'est la suite $(v_{n+1}-v_n)$ décalée d'un rang. Et sa somme se télescope : $$u_1+u_2+\cdots +u_n=(v_1-v_0)+(v_2-v_1)+\cdots +(v_n-v_{n-1})=v_n-v_0.$$ Donc $c_n=\frac{v_n-v_0}{n}$. Par le 1) si $\ell \in \mathbb{R}$, par le 2) si $\ell =+\infty$ : $\frac{v_n-v_0}{n}\to \ell$. Enfin $\frac{v_0}{n}\to 0$, donc $$\frac{v_n}{n}=\frac{v_n-v_0}{n}+\frac{v_0}{n}\underset{n\to +\infty }{\to }\ell$$ (par somme de limites si $\ell$ est réel ; par somme d'une suite de limite $+\infty$ et d'une suite bornée si $\ell =+\infty$). C'est le lemme de l'escalier : si les marches ont une hauteur qui tend vers $\ell$, la pente moyenne tend vers $\ell$.

5) La suite $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}$. Montrons par récurrence que $u_n\ge 1$ pour tout $n$ : $u_0=1$, et si $u_n\ge 1>0$ alors $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}\ge u_n\ge 1$. La suite est bien définie, et $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{u_n}>0$ : elle est strictement croissante.

Supposons qu'elle converge vers un réel $L$. Par passage à la limite dans $u_n\ge 1$, $L\ge 1>0$. La fonction $x\mapsto x+\frac{1}{x}$ est continue en $L$, donc par le théorème « limite et point fixe », $L=L+\frac{1}{L}$, soit $\frac{1}{L}=0$ — absurde. Croissante et non convergente, la suite n'est pas majorée, et par le théorème de la limite monotone, $u_n\to +\infty$.

Élevons la relation au carré : $$u_{n+1}^2={\left(u_n+\frac{1}{u_n}\right)}^2=u_n^2+2+\frac{1}{u_n^2},\text{donc}{u}_{n+1}^2-u_n^2=2+\frac{1}{u_n^2}\underset{n\to +\infty }{\to }2,$$ puisque $u_n\to +\infty$ entraîne $\frac{1}{u_n^2}\to 0$.

6) La vitesse exacte. Appliquons le lemme de l'escalier à $v_n=u_n^2$, dont les accroissements $v_{n+1}-v_n$ tendent vers $2$ : $$\frac{u_n^2}{n}\underset{n\to +\infty }{\to }2.$$ Pour passer à la racine, utilisons la majoration indiquée : pour $x\ge 0$, $$\left|\sqrt{x}-\sqrt{2}\right|=\frac{|x-2|}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}\le \frac{|x-2|}{\sqrt{2}},$$ obtenue en multipliant par la quantité conjuguée et en minorant le dénominateur par $\sqrt{2}$. Avec $x=\frac{u_n^2}{n}$, dont la racine carrée est $\frac{u_n}{\sqrt{n}}$ (car $u_n>0$) : $$\left|\frac{u_n}{\sqrt{n}}-\sqrt{2}\right|\le \frac{1}{\sqrt{2}}\left|\frac{u_n^2}{n}-2\right|\underset{n\to +\infty }{\to }0.$$ Donc $\frac{u_n}{\sqrt{n}}\to \sqrt{2}$.

Comparaison avec le cours. L'exercice résolu du cours établit $u_n^2\ge 2n+1$, c'est-à-dire $u_n\ge \sqrt{2n+1}$, en minorant $u_{n+1}^2-u_n^2$ par $2$. Cette minoration donnait le bon ordre de grandeur — $u_n$ croît au moins comme $\sqrt{2n}$ — sans dire si la constante $\sqrt{2}$ était la bonne. Le lemme de l'escalier tranche : $\frac{u_n}{\sqrt{2n}}\to 1$, la minoration est asymptotiquement exacte. Numériquement, $u_{100}\approx 14,284$ contre $\sqrt{201}\approx 14,177$, et $\frac{u_{100}}{\sqrt{100}}\approx 1,428$ ; $u_{10000}\approx 141,444$ et $\frac{u_{10000}}{100}\approx 1,4144$, contre $\sqrt{2}\approx 1,4142$. La convergence du quotient est lente — l'écart $\frac{u_n^2}{n}-2$ est de l'ordre de $\frac{\ln n}{2n}$ — mais elle est acquise.

Les théorèmes obtenus.

Théorème de Cesàro. Si une suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ (réel ou $+\infty$), alors la suite de ses moyennes $c_n=\frac{u_1+\cdots +u_n}{n}$ converge vers $\ell$. La réciproque est fausse.

Lemme de l'escalier. Si $v_{n+1}-v_n\to \ell$ (réel ou $+\infty$), alors $\frac{v_n}{n}\to \ell$.

Application. La suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}$ vérifie $\frac{u_n}{\sqrt{2n}}\to 1$.

Ce que le problème installe. La technique de coupure d'une somme en un rang fixé est l'outil universel des sommes dont on ne contrôle que la queue : elle resservira pour le produit de deux séries, pour les sommes de Riemann, et dans toutes les preuves où l'on doit « attendre que les termes soient petits » tout en gardant les premiers. Le lemme de l'escalier, lui, est une machine à fabriquer des limites : dès qu'on sait de combien une suite avance à chaque pas, on sait à quelle vitesse elle diverge — et l'on peut, comme ici, passer d'une minoration obtenue par récurrence à la vitesse exacte. Le chapitre sur l'analyse asymptotique donnera à cette conclusion son nom : $u_n$ est équivalent à $\sqrt{2n}$.