La suite géométrique complexe

La stratégie. Une équivalence se démontre dans les deux sens. Le sens « les conditions suffisent » est immédiat. Le sens difficile se traite par disjonction sur $|q|$ — trois cas, dont un seul est délicat, le cas $|q|=1$, qu'on règle par un argument de décalage : la limite est un point fixe de la relation $q^{n+1}=q\cdot q^n$.

a) Le sens facile. Si $|q|<1$ : $|q^n-0|=|q{|}^n$, suite géométrique réelle de raison dans $[0,1[$, qui tend vers $0$. Par la majoration $|z_n-\ell |\le v_n$ avec $v_n\to 0$, $q^n\to 0$. Si $q=1$ : la suite est constante égale à $1$, elle converge vers $1$.

Le sens difficile. Supposons $(q^n)$ convergente, de limite $\ell \in \mathbb{C}$.

Cas $|q|>1$. Alors $|q^n|=|q{|}^n\to +\infty$ : la suite n'est pas bornée. Or toute suite convergente est bornée — contradiction. Ce cas est exclu.

Cas $|q|=1$. Le module est continu, donc $|q^n|\to |\ell |$ ; mais $|q^n|=1$ pour tout $n$, donc $|\ell |=1$, et en particulier $\ell \ne 0$. Considérons la suite décalée $\left(q^{n+1}\right)$. C'est une suite extraite de $(q^n)$, donc elle converge vers $\ell$. Mais $q^{n+1}=q\cdot q^n\to q\ell$ par les opérations sur les limites. Par unicité de la limite, $$\ell =q\ell ,\text{soit}\ell (1-q)=0.$$ Comme $\ell \ne 0$, il vient $q=1$.

Cas $|q|<1$. C'est l'autre condition annoncée ; il n'y a rien à exclure.

Conclusion : si $(q^n)$ converge, alors $|q|<1$ ou $q=1$. L'équivalence est établie : $$(q^n)\text{ converge}⟺|q|<1(\text{vers }0)\text{ou}q=1(\text{vers }1).$$

Le point délicat. La division par $\ell$. On ne peut conclure $q=1$ que parce que $\ell \ne 0$, et l'on ne sait $\ell \ne 0$ que grâce à $|\ell |=1$, obtenu avant. Sans cette étape, l'égalité $\ell =q\ell$ n'apprendrait rien : elle est vraie pour $\ell =0$ et n'importe quel $q$ — et c'est précisément ce qui se passe dans le cas $|q|<1$.

b) La suite $e^{in\theta }$. C'est la suite géométrique de raison $q=e^{i\theta }$, dont le module vaut $1$. D'après le a), elle converge si et seulement si $q=1$, c'est-à-dire $e^{i\theta }=1$, c'est-à-dire $\theta \in 2\pi \mathbb{Z}$. Pour $\theta \notin 2\pi \mathbb{Z}$, la suite $\left(e^{in\theta }\right)$ diverge — le point $e^{in\theta }$ tourne sur le cercle unité sans jamais se fixer.

c) Cosinus et sinus. D'après la caractérisation de la convergence d'une suite complexe par ses parties réelle et imaginaire, si $(\cos n\theta )$ et $(\sin n\theta )$ convergeaient toutes deux, la suite $e^{in\theta }=\cos n\theta +i\sin n\theta$ convergerait, ce qui impose $\theta \in 2\pi \mathbb{Z}$ par le b). Donc, pour $\theta \notin 2\pi \mathbb{Z}$, l'une au moins des deux suites diverge.

Le cosinus diverge toujours. Soit $\theta \notin 2\pi \mathbb{Z}$, et supposons par l'absurde que $\cos n\theta \to \ell$. La formule d'addition donne, pour $n\ge 1$, $$\cos ((n+1)\theta )+\cos ((n-1)\theta )=2\cos \theta \cos n\theta .$$ Les deux suites $\left(\cos (n+1)\theta \right)$ et $\left(\cos (n-1)\theta \right)$ sont extraites de $(\cos n\theta )$ à un décalage près, donc tendent vers $\ell$. En passant à la limite : $2\ell =2\ell \cos \theta$, soit $\ell (1-\cos \theta )=0$. Comme $\theta \notin 2\pi \mathbb{Z}$, $\cos \theta \ne 1$, donc $\ell =0$. Mais alors $\cos (2n\theta )=2{\cos }^2(n\theta )-1\to 2\cdot 0-1=-1$, alors que $\left(\cos 2n\theta \right)$, extraite de $(\cos n\theta )$, doit tendre vers $\ell =0$. Contradiction : $(\cos n\theta )$ diverge dès que $\theta \notin 2\pi \mathbb{Z}$.

Le sinus, lui, a une exception. Si $\theta \in \pi \mathbb{Z}$, alors $\sin n\theta =0$ pour tout $n$ : la suite converge (vers $0$). Réciproquement, soit $\theta \notin 2\pi \mathbb{Z}$ tel que $\sin n\theta \to \ell$. La formule $\sin ((n+1)\theta )+\sin ((n-1)\theta )=2\cos \theta \sin n\theta$ donne comme ci-dessus $2\ell =2\ell \cos \theta$, donc $\ell =0$. Alors ${\cos }^2(n\theta )=1-{\sin }^2(n\theta )\to 1$, d'où $\cos (2n\theta )=1-2{\sin }^2(n\theta )\to 1$, et $\sin (2n\theta )=2\sin (n\theta )\cos (n\theta )\to 0$ comme produit d'une suite de limite nulle par une suite bornée. Ainsi $e^{2in\theta }=\cos 2n\theta +i\sin 2n\theta \to 1$ : la suite géométrique de raison $e^{2i\theta }$ converge. Par le a), comme cette raison est de module $1$, elle vaut $1$ : $e^{2i\theta }=1$, soit $2\theta \in 2\pi \mathbb{Z}$, soit $\theta \in \pi \mathbb{Z}$. La suite $(\sin n\theta )$ converge si et seulement si $\theta \in \pi \mathbb{Z}$ — et pour $\theta =\pi$, elle converge alors que $(\cos n\pi )=((-1{)}^n)$ diverge : la dissymétrie entre cosinus et sinus n'est pas un accident de rédaction.

Ce que l'exercice installe. C'est le résultat de référence sur les suites géométriques, celui qui décide de la convergence de toutes les suites récurrentes linéaires : dans $u_n=\lambda r_1^n+\mu r_2^n$, tout se lit sur les modules des racines. Il illustre la différence entre $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ : sur le cercle unité une suite géométrique ne va nulle part sans jamais s'éloigner, phénomène sans équivalent réel. Et il montre comment on traque la limite d'une suite complexe : non par ses coordonnées, mais par les relations qu'elle vérifie — le décalage $u_{n+1}=q{u}_n$, dont la limite est un point fixe.