La moyenne arithmético-géométrique

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 5 — Nombres réels et suites numériques · C. Suites monotones et suites adjacentes

Énoncé

Soient $0 < a_{0} < b_{0}$ . On définit, pour tout $n \in N$ , $a_{n + 1} = a_{n} b_{n}, b_{n + 1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2} .$

a) Montrer que pour tout $n$ : $a_{n} \leq a_{n + 1} \leq b_{n + 1} \leq b_{n}$ (on utilisera l'inégalité entre moyennes géométrique et arithmétique).

b) Montrer que $b_{n + 1} - a_{n + 1} \leq \frac{b _{n} - a _{n}}{2}$ , et conclure que les deux suites sont adjacentes. Leur limite commune est la moyenne arithmético-géométrique de $a_{0}$ et $b_{0}$ , notée $M (a_{0}, b_{0})$ .

c) En déduire $0 \leq b_{n} - M (a_{0}, b_{0}) \leq \frac{b _{0} - a _{0}}{2 ^{n}}$ . Combien d'itérations garantissent $M (1, 2)$ à $1 0^{- 6}$ près ? Montrer ensuite que $b_{n + 1} - a_{n + 1} \leq \frac{( b _{n} - a _{n} ) ^{2}}{8 a _{0}}$ : la convergence est en réalité quadratique.

Corrigé

La stratégie. Trois choses à établir pour des suites adjacentes — une croissante, une décroissante, un écart qui tend vers $0$ — et une seule identité fait tout le travail : pour $a, b > 0$ , $\frac{a + b}{2} - ab = \frac{a - 2 ab + b}{2} = \frac{( b - a ) ^{2}}{2} \geq 0.$ C'est l'inégalité des moyennes, avec la taille exacte de l'écart ; on la gardera sous la main.

a) La chaîne des inégalités. Montrons d'abord, par récurrence, que $0 < a_{n} \leq b_{n}$ pour tout $n$ . C'est vrai au rang $0$ par hypothèse. Si $0 < a_{n} \leq b_{n}$ , alors $a_{n + 1} = a_{n} b_{n} > 0$ (produit de réels strictement positifs), et l'identité ci-dessus appliquée à $a_{n}$ et $b_{n}$ donne $a_{n + 1} \leq b_{n + 1}$ . Les deux suites sont donc bien définies (les racines portent sur des réels positifs), strictement positives, et $a_{n} \leq b_{n}$ à tout rang.

Les trois inégalités s'enchaînent maintenant :

$a_{n} \leq a_{n + 1}$ : car $a_{n + 1} = a_{n} b_{n} \geq a_{n} \cdot a_{n} = a_{n}$ , en utilisant $b_{n} \geq a_{n}$ et la croissance de la racine carrée ;
$a_{n + 1} \leq b_{n + 1}$ : c'est l'inégalité des moyennes, qu'on vient de vérifier ;
$b_{n + 1} \leq b_{n}$ : car $b_{n + 1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2} \leq \frac{b _{n} + b _{n}}{2} = b_{n}$ .

Donc $(a_{n})$ est croissante et $(b_{n})$ est décroissante.

Le point délicat. L'inégalité $a_{n} \leq a_{n + 1}$ utilise $a_{n} \leq b_{n}$ : il faut donc l'avoir établie avant, par la récurrence, et non l'invoquer au rang courant comme si elle allait de soi. Écrire la chaîne de gauche à droite sans cette récurrence préalable, c'est utiliser au rang $n$ ce qu'on est en train de prouver.

b) L'écart est au moins divisé par deux. L'identité de départ, appliquée à $a_{n}$ et $b_{n}$ , dit exactement $b_{n + 1} - a_{n + 1} = \frac{( b _{n} - a _{n} ) ^{2}}{2},$ tandis que $\frac{b _{n} - a _{n}}{2} = \frac{( b _{n} - a _{n} ) ( b _{n} + a _{n} )}{2} .$ Comme $0 \leq b_{n} - a_{n} \leq b_{n} + a_{n}$ (car $a_{n} > 0$ ), on obtient, en multipliant par le facteur positif $\frac{b _{n} - a _{n}}{2}$ : $b_{n + 1} - a_{n + 1} \leq \frac{b _{n} - a _{n}}{2} .$ Par récurrence immédiate, $0 \leq b_{n} - a_{n} \leq \frac{b _{0} - a _{0}}{2 ^{n}}$ , et le membre de droite tend vers $0$ (suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$ ) : par encadrement, $b_{n} - a_{n} \to 0$ .

Conclusion. $(a_{n})$ croissante, $(b_{n})$ décroissante, $b_{n} - a_{n} \to 0$ : les deux suites sont adjacentes. Elles convergent vers une même limite $M (a_{0}, b_{0})$ , et le théorème des suites adjacentes donne l'encadrement $a_{n} \leq M (a_{0}, b_{0}) \leq b_{n}$ à tout rang.

c) La précision, à chaque rang. De $a_{n} \leq M (a_{0}, b_{0}) \leq b_{n}$ on tire $0 \leq b_{n} - M (a_{0}, b_{0}) \leq b_{n} - a_{n} \leq \frac{b _{0} - a _{0}}{2 ^{n}}$ . Pour $M (1, 2)$ : $b_{0} - a_{0} = 1$ , et l'on veut $2^{- n} \leq 1 0^{- 6}$ , soit $2^{n} \geq 1 0^{6}$ . Comme $2^{19} = 524288 < 1 0^{6} \leq 1048576 = 2^{20}$ , vingt itérations garantissent la précision $1 0^{- 6}$ — et chacune ne coûte qu'une racine carrée et une moyenne.

La convergence réelle est bien meilleure. Reprenons l'identité exacte et écrivons $b_{n} - a_{n} = \frac{b _{n} - a _{n}}{b _{n} + a _{n}}$ : $b_{n + 1} - a_{n + 1} = \frac{( b _{n} - a _{n} ) ^{2}}{2 ( b _{n} + a _{n} ) ^{2}} .$ Or $a_{n} \geq a_{0}$ et $b_{n} \geq a_{n} \geq a_{0}$ , donc $b_{n} + a_{n} \geq 2 a_{0}$ et $(b_{n} + a_{n})^{2} \geq 4 a_{0}$ . D'où $b_{n + 1} - a_{n + 1} \leq \frac{( b _{n} - a _{n} ) ^{2}}{8 a _{0}} .$ L'écart au rang $n + 1$ est majoré par le carré de l'écart au rang $n$ : la convergence est quadratique, le nombre de décimales exactes double à chaque étape. Numériquement, pour $M (1, 2)$ : $a_{1} = 2 \approx 1, 41421$ , $b_{1} = 1, 5$ , écart $0, 086$ ; $a_{2} \approx 1, 456475$ , $b_{2} \approx 1, 457107$ , écart $6, 3 \cdot 1 0^{- 4}$ ; $a_{3} \approx 1, 45679101$ , $b_{3} \approx 1, 45679105$ , écart $3, 4 \cdot 1 0^{- 8}$ ; au rang $4$ les deux valeurs coïncident sur seize décimales, et $M (1, 2) \approx 1, 4567910310$ . Trois itérations suffisent là où la majoration en $2^{- n}$ en réclamait vingt : la majoration était correcte, mais très pessimiste.

Ce que l'exercice installe. Le schéma « deux suites qui se rapprochent en s'encadrant » est le modèle de tous les algorithmes de calcul par encadrement : à chaque rang on connaît la limite avec la précision $b_{n} - a_{n}$ , ce qu'une simple suite convergente ne donne jamais. C'est le programme lui-même qui distingue l'aspect qualitatif (les suites convergent) de l'aspect quantitatif (à quelle vitesse), et cet exercice montre que la seconde question a plusieurs réponses selon la finesse de l'inégalité qu'on écrit. Gauss a bâti sur cette moyenne arithmético-géométrique un calcul de $π$ dont la convergence quadratique n'est pas un accident.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.