Le sup non atteint est limite d'une suite strictement croissante

La stratégie. Le cours fournit une suite de $X$ tendant vers $\sup X$, en appliquant la caractérisation du sup avec $\epsilon =\frac{1}{n+1}$. Cette suite n'a aucune raison d'être croissante. Pour obtenir la stricte croissance, on construit les termes un par un, en choisissant à chaque étape un $\epsilon$ plus petit que l'écart entre le terme précédent et $s$ — c'est l'hypothèse $s\notin X$ qui garantit que cet écart n'est jamais nul.

a) La construction. Comme $X$ est non vide, choisissons $x_0\in X$. Comme $s$ majore $X$ et $s\notin X$, on a $x_0\le s$ et $x_0\ne s$, donc $x_0<s$.

Supposons construits $x_0<x_1<\cdots <x_{n-1}$, éléments de $X$, tous strictement inférieurs à $s$ (avec $n\ge 1$). Posons $${\epsilon }_n=\min \left(\frac{1}{n},s-x_{n-1}\right),$$ qui est strictement positif puisque $x_{n-1}<s$. La caractérisation de la borne supérieure fournit $x_n\in X$ tel que $x_n>s-{\epsilon }_n$. Alors :

• $x_n>s-{\epsilon }_n\ge s-(s-x_{n-1})=x_{n-1}$ : la suite est strictement croissante ;
• $x_n\le s$ car $s$ majore $X$, et $x_n\ne s$ car $s\notin X$ : donc $x_n<s$, ce qui permet de continuer la construction ;
• $s-x_n<{\epsilon }_n\le \frac{1}{n}$.

On a ainsi construit par récurrence une suite $(x_n)$ d'éléments de $X$, strictement croissante, et vérifiant pour tout $n\ge 1$ : $$s-\frac{1}{n}<x_n<s.$$ Par encadrement, $x_n\to s$. La suite convient.

Le point délicat. L'hypothèse $s\notin X$ sert à chaque étape, et une seule fois : elle garantit $x_{n-1}<s$ strictement, donc ${\epsilon }_n>0$, donc la possibilité d'appliquer la caractérisation du sup. Si $s$ appartenait à $X$, on pourrait tomber sur $x_{n-1}=s$ et la construction s'arrêterait — et d'ailleurs, si $X=\{0,1\}$, aucune suite strictement croissante d'éléments de $X$ n'existe.

b) La réciproque. $X$ est non vide et majorée par $M$ : $\sup X$ existe, et comme $M$ est un majorant et que $\sup X$ est le plus petit des majorants, $\sup X\le M$. D'autre part, pour tout $n$, $x_n\in X$ donc $x_n\le \sup X$ ; en passant à la limite dans cette inégalité large, $M\le \sup X$. D'où $M=\sup X$.

Cette réciproque est un outil pratique : pour identifier une borne supérieure, il suffit d'exhiber un majorant et une suite de la partie qui converge vers lui.

c) Les rationnels dont le carré est inférieur à $2$.

$X$ est non vide et majorée. $1\in X$ car $1^2=1<2$. Si $x\in X$ alors $x<2$ : sinon $x\ge 2$ donnerait $x^2\ge 4>2$. Donc $2$ majore $X$.

$\sqrt{2}$ majore $X$. Soit $x\in X$. Si l'on avait $x>\sqrt{2}$, alors $x>0$ et, par croissance de la fonction carré sur ${\mathbb{R}}_{+}$, $x^2>2$ : contradiction. Donc $x\le \sqrt{2}$.

Aucun réel plus petit ne majore $X$. Soit $M<\sqrt{2}$. L'intervalle ouvert $\left]\max (M,1),\sqrt{2}\right[$ est non vide (car $1<\sqrt{2}$ et $M<\sqrt{2}$) ; par densité de $\mathbb{Q}$, il contient un rationnel $r$. Alors $0<1<r<\sqrt{2}$, donc $r^2<2$ : $r\in X$, et $r>M$. Donc $M$ ne majore pas $X$.

Ainsi $\sup X=\sqrt{2}$. Et $\sqrt{2}\notin X$ puisque $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel (chapitre 5, irrationalité de $\sqrt{2}$), tandis que $X\subset \mathbb{Q}$.

La conclusion. $X$ est une partie non vide majorée dont la borne supérieure n'appartient pas à $X$ : le a) fournit une suite strictement croissante d'éléments de $X$ — donc de rationnels — convergeant vers $\sqrt{2}$. On peut d'ailleurs en exhiber une : $1$ ; $1,4$ ; $1,41$ ; $1,414$ ; $1,4142$ ; … les valeurs décimales approchées par défaut de $\sqrt{2}$, qui sont rationnelles, de carré inférieur à $2$, et croissantes (strictement tant qu'aucune décimale n'est nulle, ce que le a) garantit de toute façon pour une suite bien choisie).

Ce que l'exercice installe. La traduction séquentielle dans les deux sens : du sup vers une suite (a), et d'une suite vers le sup (b). La construction du a) — choisir $\epsilon$ en fonction de ce qu'on a déjà construit — est le mécanisme de toutes les constructions par récurrence en analyse. Et le c) rappelle la spécificité de $\mathbb{R}$ : la partie $X$ est formée de rationnels, mais sa borne supérieure ne l'est pas — c'est exactement ce qui manque à $\mathbb{Q}$ pour faire de l'analyse.