mathématiques MPSI · Chapitre 5 · Application directe du cours

Calculs de limites

Nombres réels et suites numériques · B. Limites : définitions, opérations, comparaison · niveau 1 (application)

Énoncé

Déterminer les limites des suites : $u_{n} = \frac{2 n ^{2} + 1}{n ^{2} + 3}, v_{n} = \frac{sin n}{n}, w_{n} = n + 1 - n, t_{n} = \frac{3 ^{n} + 2 ^{n}}{3 ^{n} - 2 ^{n}} .$

Corrigé

Pour $u_{n}$ , on factorise le terme dominant : $u_{n} = \frac{2 + 1/ n ^{2}}{1 + 3/ n ^{2}} \to 2$ .

Pour $v_{n}$ : produit de la suite bornée $(sin n)$ par $\frac{1}{n} \to 0$ , donc $v_{n} \to 0$ .

Pour $w_{n}$ , on multiplie par la quantité conjuguée : $w_{n} = \frac{1}{n + 1 + n} \leq \frac{1}{2 n} \to 0.$ Pour $t_{n}$ , on factorise par $3^{n}$ : $t_{n} = \frac{1 + ( 2/3 ) ^{n}}{1 - ( 2/3 ) ^{n}} \to 1$ , car $(\frac{2}{3})^{n} \to 0$ .

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