Déterminer la limite de uₙ = Σₖ₌₁ⁿ 1/(√(n² + k)).

Stratégie : le théorème d'encadrement (« des gendarmes »). La somme a $n$ termes qui varient tous avec $k$, et aucun ne se calcule ; mais ils sont tous du même ordre. On encadre donc chaque terme par le plus petit et le plus grand, puis on somme.

L'encadrement terme à terme. Pour $1⩽k⩽n$ on a $1⩽k⩽n$, donc $$n^2+1⩽n^2+k⩽n^2+n,$$ et comme $t\mapsto \frac{1}{\sqrt{t}}$ est décroissante sur $]0,+\infty [$, l'ordre s'inverse : $$\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}⩽\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}⩽\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}.$$

⚠️ Le point délicat : l'inversion du sens. C'est la décroissance de l'inverse de la racine qui échange les deux bornes. Recopier l'encadrement dans le même ordre est l'erreur classique — et elle donnerait ici un encadrement faux dont les deux membres tendent pourtant vers $1$, donc invisible au contrôle numérique final. Il faut le voir à l'écriture.

La sommation. Les $n$ termes sont encadrés par les mêmes deux constantes (indépendantes de $k$), donc en sommant de $k=1$ à $n$ : $$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}⩽u_n⩽\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}.$$

Les deux bords ont la même limite. En factorisant $n^2$ sous la racine ($n>0$) : $$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{n}{n\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}\underset{n\to +\infty }{\to }1,\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}\underset{n\to +\infty }{\to }1.$$ Le théorème d'encadrement conclut : $$\boxed{\underset{n\to +\infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}=1}$$

Contrôle. $n=2$ : $\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{6}}=0,44721+0,40825=0,85546$, à comparer à l'encadrement $\left[\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right]=[0,81650,0,89443]$ ✓. $n=100$ : la somme vaut $0,9974876$, l'encadrement $[0,9950372,0,9999500]$ ✓. $n=10^6$ : $0,99999975$ — la convergence vers $1$ est confirmée, et elle est lente (l'écart est de l'ordre de $\frac{1}{4n}$).

Ce que l'exercice installe. Une somme de $n$ termes qui vaut $1$ à la limite, alors que chaque terme tend vers $0$ : c'est le mécanisme de toutes les sommes de Riemann, où « beaucoup de petites choses » font une quantité finie. Ici les $n$ termes valent chacun à peu près $\frac{1}{n}$. Le réflexe à retenir : devant ${\sum }_{k=1}^n$ dont les termes ne se calculent pas, encadrer par le plus petit et le plus grand terme avant toute autre idée — cela suffit dès que le rapport entre les deux tend vers $1$.