Bornée et divergente : deux extraites, deux limites

La stratégie. Bolzano-Weierstrass, puis la négation soigneuse de « converge vers $\ell$ », puis Bolzano-Weierstrass une seconde fois. C'est un exercice de quantificateurs autant que d'analyse.

a) Deux valeurs d'adhérence.

Une première limite. $(u_n)$ est bornée : par le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet une suite extraite convergente. Notons-la $\left(u_{\phi (n)}\right)$ et $\ell$ sa limite.

La suite ne converge pas vers $\ell$ — écrivons-le. Par hypothèse $(u_n)$ diverge ; en particulier elle ne converge pas vers $\ell$. La négation de $$\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb{N},\forall n\ge N,|u_n-\ell |\le \epsilon$$ est $$\exists {\epsilon }_0>0,\forall N\in \mathbb{N},\exists n\ge N,|u_n-\ell |>{\epsilon }_0.$$ Fixons un tel ${\epsilon }_0$. La proposition « pour tout $N$ il existe $n\ge N$ tel que… » permet de construire par récurrence une extraction : on choisit $\psi (0)$ tel que $|u_{\psi (0)}-\ell |>{\epsilon }_0$ (c'est le cas $N=0$) ; puis, $\psi (n)$ étant choisi, on applique la propriété avec $N=\psi (n)+1$, ce qui fournit $\psi (n+1)>\psi (n)$ vérifiant $\left|u_{\psi (n+1)}-\ell \right|>{\epsilon }_0$. L'application $\psi$ ainsi construite est strictement croissante : c'est une extractrice, et $$\forall n\in \mathbb{N},\left|u_{\psi (n)}-\ell \right|>{\epsilon }_0.$$

Une seconde limite. La suite $\left(u_{\psi (n)}\right)$ est extraite d'une suite bornée, donc bornée. Bolzano-Weierstrass s'applique une seconde fois : elle admet une suite extraite $\left(u_{\psi (\sigma (n))}\right)$ convergeant vers un réel ${\ell }^{\prime }$. Notons que $\psi \circ \sigma$ est strictement croissante comme composée de deux applications strictement croissantes : c'est bien une extraction de $(u_n)$.

Les deux limites diffèrent. Tous les termes de $\left(u_{\psi (\sigma (n))}\right)$ vérifient $\left|u_{\psi (\sigma (n))}-\ell \right|>{\epsilon }_0$, donc a fortiori $\ge {\epsilon }_0$. La valeur absolue étant continue, $\left|u_{\psi (\sigma (n))}-\ell \right|\to |{\ell }^{\prime }-\ell |$, et le passage à la limite dans l'inégalité large donne $$|{\ell }^{\prime }-\ell |\ge {\epsilon }_0>0,\text{donc}{\ell }^{\prime }\ne \ell .$$ Les suites extraites $\left(u_{\phi (n)}\right)$ et $\left(u_{\psi (\sigma (n))}\right)$ convergent vers deux limites distinctes.

Deux points délicats, tous deux dans le maniement des inégalités.

• La négation de la convergence fournit une inégalité stricte $>{\epsilon }_0$ ; on l'affaiblit en $\ge {\epsilon }_0$ avant de passer à la limite, parce que seules les inégalités larges passent à la limite. Le réflexe « strict devient large » doit être conscient.
• La seconde extraction se fait à l'intérieur de la première, jamais dans la suite de départ : c'est ce qui garantit que la sous-suite finale reste à distance au moins ${\epsilon }_0$ de $\ell$. Une extraction de $(u_n)$ tirée au hasard pourrait très bien reconverger vers $\ell$.

b) La contraposée. Soit $(u_n)$ bornée, dont toutes les suites extraites convergentes ont la même limite. Si $(u_n)$ divergeait, le a) fournirait deux suites extraites convergentes de limites différentes — contradiction. Donc $(u_n)$ converge. Et sa limite est nécessairement la limite commune des extraites, puisque toute suite extraite d'une suite convergente converge vers la même limite.

c) Les exemples. $u_n=(-1{)}^n$ est bornée et divergente : $u_{2n}=1\to 1$ et $u_{2n+1}=-1\to -1$, deux limites distinctes ; ici ${\epsilon }_0=1$ convient (les termes impairs sont à distance $2$ de $\ell =1$). Pour $u_n=\sin \frac{n\pi }{2}$, dont les valeurs sont $0,1,0,-1,0,1,\dots$ : $u_{4n}=0$, $u_{4n+1}=1$, $u_{4n+3}=-1$ — trois valeurs d'adhérence. L'énoncé n'en promet que deux, mais rien n'interdit qu'il y en ait davantage.

Ce que l'exercice installe. La contraposée du b) est le résultat vraiment utile : une suite bornée dont toutes les valeurs d'adhérence sont égales converge. C'est le critère qu'on emploie pour les suites $u_{n+1}=f(u_n)$, où l'on identifie les valeurs d'adhérence comme points fixes de $f$. Et l'exercice montre l'usage normal de Bolzano-Weierstrass : on ne l'invoque pas une fois, on l'invoque autant de fois qu'il faut, chaque extraction se faisant dans la précédente.