Segments emboîtés. Soit ([aₙ, bₙ] )ₙ une suite de segments emboîtés…

Stratégie : reconnaître deux suites adjacentes. L'emboîtement donne la monotonie, l'hypothèse sur les longueurs donne l'écart qui tend vers $0$ : c'est exactement la définition de suites adjacentes. Comme toujours pour un « exactement un », on démontre séparément l'existence et l'unicité.

1) L'emboîtement se traduit par deux monotonies. Dire que $[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n]$ (avec $[a_{n+1},b_{n+1}]$ non vide), c'est dire exactement $$a_n⩽a_{n+1}⩽b_{n+1}⩽b_n.$$ Donc $(a_n)$ est croissante, $(b_n)$ est décroissante, et $a_n⩽b_n$ pour tout $n$.

2) Existence. $(a_n)$ est croissante et majorée par $b_0$ (car $a_n⩽b_n⩽b_0$) : par le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel $\ell$. De même $(b_n)$ est décroissante et minorée par $a_0$, donc converge vers un réel ${\ell }^{\prime }$. Enfin $${\ell }^{\prime }-\ell =\underset{n\to +\infty }{\lim }(b_n-a_n)=0,$$ donc $\ell ={\ell }^{\prime }$ : les deux suites sont adjacentes, de limite commune $\ell$.

Par croissance de $(a_n)$ et décroissance de $(b_n)$, pour tout $n$ : $$a_n⩽\ell ⩽b_n,\text{c’est-aˋ-dire}\ell \in [a_n,b_n].$$ Donc $\ell \in {\bigcap }_n[a_n,b_n]$ : l'intersection n'est pas vide.

3) Unicité. Soient $x$ et $y$ deux éléments de l'intersection. Pour tout $n$, $x$ et $y$ sont dans $[a_n,b_n]$, donc $$|x-y|⩽b_n-a_n.$$ Le membre de droite tend vers $0$, et $|x-y|$ est une constante : une constante positive majorée par une suite tendant vers $0$ est nulle. Donc $x=y$.

$$\boxed{\bigcap _n[a_n,b_n]=\{\ell \}}$$

⚠️ Le point délicat : chacune des deux hypothèses sert, et une seule fois.

• La longueur qui tend vers $0$ ne sert pas à l'existence (des segments emboîtés de longueur constante ont une intersection non vide) : elle sert à l'unicité. Sans elle, $[0,1]\supset [0,1]\supset \cdots$ a pour intersection le segment $[0,1]$ tout entier.
• Le fait qu'il s'agisse de segments — intervalles fermés et bornés — est tout aussi indispensable. Avec des intervalles ouverts, ${\bigcap }_{n⩾1}\left]0,\frac{1}{n}\right[=\varnothing$ : la limite $0$ des bornes gauches n'appartient à aucun des intervalles. C'est exactement le passage à la limite « $a_n⩽\ell$ », licite pour une inégalité large, qui tomberait pour une inégalité stricte.

Contrôle. Avec $[a_n,b_n]=\left[0,\frac{1}{n+1}\right]$ : la suite est bien emboîtée, la longueur tend vers $0$, et l'intersection est $\{0\}$ — un seul point ✓. Avec $\left]0,\frac{1}{n}\right[$ : intersection vide, l'énoncé tombe ✓, ce qui confirme que « segment » n'est pas décoratif.

Ce que l'exercice installe. C'est le théorème des segments emboîtés, l'une des formes équivalentes de la propriété de la borne supérieure — c'est-à-dire de la complétude de $\mathbb{R}$. Il est le moteur de la démonstration de Bolzano-Weierstrass par dichotomie : on coupe en deux, on garde la moitié qui contient une infinité de termes, et le point que l'on vient de fabriquer est la limite cherchée. C'est aussi ce qui garantit qu'une méthode de dichotomie numérique converge vers un point et non vers un intervalle.