mathématiques MPSI · Chapitre 7 · Exercice de TD

Aucun polynôme ne fabrique que des nombres premiers

Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs · D. Nombres premiers et valuations · niveau 2

Énoncé

a) Soit $P$ un polynôme à coefficients entiers. Montrer que pour tout entier $a$ , tout entier $m \geq 1$ et tout $k \in Z$ : $P (a + k m) \equiv P (a) [m]$ .

b) En déduire qu'il n'existe pas de polynôme $P$ non constant à coefficients entiers tel que $P (n)$ soit premier pour tout $n \in N$ .

c) Vérifier que $n^{2} + n + 41$ est premier pour $n = 0, 1, 2, 3$ (il l'est jusqu'à $n = 39$ ), et exhiber, grâce au a), un entier $n$ pour lequel il ne l'est pas.

Corrigé de la question 1

La stratégie. Un polynôme à coefficients entiers respecte les congruences : c'est le a), et c'est tout. Si $P (a) = p$ est premier, alors $P (a + k p)$ est un multiple de $p$ pour tout $k$ — et un multiple de $p$ qui est premier vaut $p$ . Un polynôme non constant ne peut pas prendre la même valeur une infinité de fois.

a) Un polynôme respecte les congruences. Écrivons $P = \sum_{i = 0}^{d} c_{i} X^{i}$ avec $c_{i} \in Z$ . On a $a + k m \equiv a [m]$ (car $m$ divise $(a + k m) - a = k m$ ). Les congruences sont compatibles avec les puissances : $(a + k m)^{i} \equiv a^{i} [m]$ pour tout $i$ ; avec les produits par un entier : $c_{i} (a + k m)^{i} \equiv c_{i} a^{i} [m]$ ; et avec les sommes : $\sum c_{i} (a + k m)^{i} \equiv \sum c_{i} a^{i} [m]$ . C'est exactement $P (a + k m) \equiv P (a) [m]$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) En déduire qu'il n'existe pas de polynôme $P$ non constant à coefficients entiers tel que $P (n)$ soit premier pour tout $n \in N$ .

Élève

Avec le a), je sais que $P (a + k m) \equiv P (a) [m]$ , mais je ne vois pas comment en tirer une contradiction : deux nombres premiers peuvent très bien être congrus modulo $m$ .

Exact, une congruence quelconque ne contredit rien. Pour toucher à la primalité, il faut que les $P (a + k m)$ aient un diviseur imposé. Quel choix de $m$ rendrait $P (a)$ congru à $0$ modulo $m$ , en utilisant ce que l'hypothèse te dit des valeurs de $P$ ?

Élève

Si je prends pour $m$ une valeur de $P$ , par exemple $m = P (0)$ , qui est premier, alors tous les $P (k m)$ sont divisibles par $m$ . Et ils sont premiers eux aussi.

Que peut valoir un nombre premier divisible par le nombre premier $m$ ? Qu'en déduis-tu sur les valeurs prises par $P$ aux points $k m$ , $k \in N$ , et pourquoi est-ce interdit à un polynôme non constant ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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