Exercices corrigés — Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs (mathématiques MPSI)
27 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
D. Nombres premiers et valuations
- Mersenne, Fermat et le démenti d'Euler Exercice de TD
- Aucun polynôme ne fabrique que des nombres premiers Exercice de TD
- Montrer que si 2ⁿ + 1 est premier, alors n est une puissance de 2. Les… Exercice classique
- Montrer que pour tout n ≥ 2, les n - 1 entiers consécutifs n! + 2, n! Application directe du cours
B. PGCD, algorithme d'Euclide, Bézout
- Euclide à l'étage des exposants : Exercice de TD
- Déterminer tous les couples (a, b) ∈ (ℕ*)² tels que a ∧ b = 6 et a ∨ b… Application directe du cours
- Montrer que deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci sont… Application directe du cours
- Euclide étendu et inverse modulaire Application directe du cours
C. Entiers premiers entre eux et lemme de Gauss
- Le problème des deux pièces (Sylvester) Exercice de TD
- Gauss et les racines : entier ou irrationnel Exercice de TD
- Vérifier que 6, 10 et 15 sont premiers entre eux dans leur ensemble… Exercice classique
- Algorithme d'Euclide Exercice classique
- Équation diophantienne Application directe du cours
G. Décomposition en facteurs premiers, PGCD et PPCM par les valuations
- Les valuations font tout : PGCD, PPCM et la formule de Legendre Exercice de TD
- Montrer que pour tout premier p : vₚ(a ∧ b) = min (vₚ(a), vₚ(b) ) et… Exercice classique
- PGCD et PPCM par les valuations Application directe du cours
F. Problèmes et applications
- Les nombres parfaits pairs : Euclide et Euler Exercice de TD
- Problème — Le théorème de Wilson, et quand est un carré modulo Exercice de TD
E. Congruences
- Le théorème chinois : des congruences indépendantes Exercice de TD
- Fermat premier par premier : Exercice de TD
- Calculer l'inverse de 7 modulo 26, et résoudre 7x ≡ 5 [26] (c'est le… Application directe du cours
- Résoudre x² ≡ 1 [8]. Application directe du cours
- Montrer que 7 divise 2222⁵⁵⁵⁵ + 5555²²²². Application directe du cours
- Puissances et restes Application directe du cours
- Petit théorème de Fermat Application directe du cours
A. Divisibilité et division euclidienne
- Déterminer tous les entiers n tels que n - 2 divise n + 5. Application directe du cours
- Divisibilité par produit Application directe du cours