Déterminer tous les couples (a, b) ∈ (ℕ*)² tels que a ∧ b = 6 et a ∨ b…

Stratégie : sortir le PGCD en facteur, puis compter. On cherche les couples $(a,b)$ d'entiers $>0$ tels que $a\wedge b=6$ et $a\vee b=180$.

a) Une condition nécessaire, gratuite. La relation $(a\wedge b)(a\vee b)=ab$ donne immédiatement $$ab=6\times 180=1080$$

b) On divise par le PGCD. Puisque $6\mid a$ et $6\mid b$, écrivons $a=6a^{\prime }$ et $b=6b^{\prime }$. Le PGCD se factorise ($6a^{\prime }\wedge 6b^{\prime }=6(a^{\prime }\wedge b^{\prime })$), donc $$a\wedge b=6⟺a^{\prime }\wedge b^{\prime }=1$$ et le produit donne $36a^{\prime }{b}^{\prime }=1080$, soit $a^{\prime }{b}^{\prime }=30$.

⚠️ Le point délicat : la condition $a^{\prime }\wedge b^{\prime }=1$ ne peut pas être oubliée. Sans elle, $a^{\prime }{b}^{\prime }=30$ autoriserait par exemple $(a^{\prime },b^{\prime })=(6,5)$… qui convient, mais aussi des couples comme $(a,b)=(6a^{\prime },6b^{\prime })$ avec $a^{\prime }\wedge b^{\prime }>1$ : leur PGCD vaudrait $6(a^{\prime }\wedge b^{\prime })>6$. C'est la primalité entre eux qui verrouille le PGCD à exactement $6$.

c) Les couples coprimes de produit $30=2\times 3\times 5$. Comme $a^{\prime }\wedge b^{\prime }=1$, chaque facteur premier de $30$ va tout entier dans $a^{\prime }$ ou dans $b^{\prime }$ : il y a $2^3=8$ répartitions, soit $$(a^{\prime },b^{\prime })\in \{(1,30),(2,15),(3,10),(5,6),(6,5),(10,3),(15,2),(30,1)\}$$

d) Retour aux couples cherchés. En multipliant par $6$ : $$(a,b)\in \{(6,180),(12,90),(18,60),(30,36),(36,30),(60,18),(90,12),(180,6)\}$$

Contrôle numérique sur le couple le moins évident, $(30,36)$ : $30=2\cdot 3\cdot 5$, $36=2^2\cdot 3^2$, donc $30\wedge 36=2\cdot 3=6$ et $30\vee 36=2^2\cdot 3^2\cdot 5=180$. Et $30\times 36=1080=6\times 180$. Un balayage de tous les couples $(a,b)$ avec $a,b\le 2000$ ne rend que ces huit-là.

Ce que l'exercice installe. Le couple $(\text{PGCD},\text{PPCM})$ ne détermine pas $(a,b)$, mais il en laisse un nombre fini, égal à $2^r$ où $r$ est le nombre de facteurs premiers distincts du quotient $\frac{a\vee b}{a\wedge b}$. C'est le premier calcul « à la carte » sur les décompositions.