Montrer que 7 divise 2222⁵⁵⁵⁵ + 5555²²²².

Stratégie : réduire d'abord les bases, puis les exposants. Deux réductions de nature différente : les bases modulo $7$ (congruence), les exposants modulo $6$ (petit théorème de Fermat).

a) Les bases. $2222=7\times 317+3$ et $5555=7\times 793+4$, donc $$2222\equiv 3[7],5555\equiv 4[7]$$ et par compatibilité des congruences avec le produit : $2222^{5555}\equiv 3^{5555}$ et $5555^{2222}\equiv 4^{2222}[7]$.

b) Les exposants. $7$ est premier et ne divise ni $3$ ni $4$ : le petit théorème de Fermat donne $3^6\equiv 1$ et $4^6\equiv 1[7]$. Les exposants ne comptent donc que modulo $6$ : $$5555=6\times 925+5\Rightarrow 3^{5555}\equiv 3^5,2222=6\times 370+2\Rightarrow 4^{2222}\equiv 4^2$$

⚠️ Le point délicat : on réduit les exposants modulo $p-1$, jamais modulo $p$. Écrire « $5555\equiv 5[7]$ donc $3^{5555}\equiv 3^5$ » serait une faute de raisonnement qui donne ici, par accident, le bon résultat. Ce qui est périodique, c'est la suite des puissances, de période divisant $p-1=6$ : c'est bien $6$, et non $7$, le module des exposants.

c) La somme. $3^5=243=34\times 7+5\equiv 5[7]$ et $4^2=16\equiv 2[7]$, donc $$2222^{5555}+5555^{2222}\equiv 5+2=7\equiv 0[7]$$ $7$ divise bien $2222^{5555}+5555^{2222}$.

Contrôle numérique. Le calcul exact de $2222^{5555}+5555^{2222}$ (un entier de plus de $18000$ chiffres) donne un reste nul modulo $7$ — vérification faite en arithmétique exacte, pas par approximation.

Ce que l'exercice installe. Deux modules cohabitent dans le même calcul, à deux étages différents : $7$ pour les valeurs, $6=7-1$ pour les exposants. Distinguer les deux est le geste central de tout calcul de puissance modulaire — et donc de RSA.