Puissances et restes

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques MPSI, chapitre 7 — Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs · E. Congruences

Énoncé

Quel est le chiffre des unités de $7^{2026}$ ?

Corrigé

Le chiffre des unités est le reste modulo $10$ . Calculons les premières puissances de $7$ modulo $10$ : $7^{1} \equiv 7, 7^{2} \equiv 9, 7^{3} \equiv 3, 7^{4} \equiv 1 [10] .$ Les restes sont périodiques de période 4. Comme $2026 = 4 \times 506 + 2$ : $7^{2026} = (7^{4})^{506} \times 7^{2} \equiv 9 [10] :$ le chiffre des unités est $9$ .

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