Divisibilité par produit

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 7 — Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs · A. Divisibilité et division euclidienne

Énoncé

Montrer que pour tout $n \in Z$ , l'entier $n (n^{2} + 5)$ est divisible par $6$ .

Corrigé

Remarquons que $n (n^{2} + 5) = (n - 1) n (n + 1) + 6 n$ . Le second terme est divisible par $6$ . Le premier est un produit de trois entiers consécutifs : parmi eux, l'un est pair et l'un est multiple de $3$ . Comme $2 \land 3 = 1$ , leur produit $6$ divise $(n - 1) n (n + 1)$ . D'où $6 ∣ n (n^{2} + 5)$ .

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