Déterminer tous les entiers n tels que n - 2 divise n + 5.

Stratégie : faire apparaître un reste constant. Le quotient $\frac{n+5}{n-2}$ n'est pas un entier « en général » ; on isole donc la partie qui dépend de $n$ en écrivant le numérateur dans la division euclidienne par $n-2$ : $$n+5=(n-2)+7$$

a) Réduction. Comme $n-2$ divise toujours $n-2$, la propriété de combinaison linéaire donne $$(n-2)\mid (n+5)⟺(n-2)\mid [(n+5)-(n-2)]⟺(n-2)\mid 7$$

⚠️ Le point délicat : on divise ici dans $\mathbb{Z}$, pas dans $\mathbb{N}$. Les diviseurs de $7$ dans $\mathbb{Z}$ sont quatre et non deux : $-7,-1,1,7$. Oublier les négatifs fait perdre la moitié des solutions. (Le cas $n=2$, lui, est exclu : $0$ ne divise que $0$, et $n+5=7\ne 0$.)

b) Les quatre cas.

• $n-2=-7\Rightarrow n=-5$ ;
• $n-2=-1\Rightarrow n=1$ ;
• $n-2=1\Rightarrow n=3$ ;
• $n-2=7\Rightarrow n=9$.

Donc $n\in \{-5,1,3,9\}$.

Contrôle numérique. $\frac{0}{-7}=0$, $\frac{6}{-1}=-6$, $\frac{8}{1}=8$, $\frac{14}{7}=2$ : les quatre quotients sont bien entiers. Et pour $n=4$, $\frac{9}{2}$ n'est pas entier : rien d'autre ne convient.

Ce que l'exercice installe. Toute question « pour quels $n$ l'entier $A(n)$ divise-t-il $B(n)$ ? » se traite ainsi : on remplace $B$ par le reste de $B$ dans la division par $A$, ce qui ramène une famille infinie de conditions à la liste finie des diviseurs d'un entier fixe.