mathématiques MPSI · Chapitre 7 · Exercice de TD

Les nombres parfaits pairs : Euclide et Euler

Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs · F. Problèmes et applications · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Pour $n \geq 1$ , on note $σ (n)$ la somme des diviseurs positifs de $n$ ; $n$ est parfait si $σ (n) = 2 n$ , c'est-à-dire si $n$ est la somme de ses diviseurs stricts.

a) Soit $n = \prod_{i = 1}^{r} p_{i}^{α_{i}}$ la décomposition de $n \geq 2$ en facteurs premiers. Montrer que $σ (n) = \prod_{i = 1}^{r} \frac{p _{i}^{α_{i} + 1} - 1}{p _{i} - 1}$ , et en déduire que $σ (mn) = σ (m) σ (n)$ lorsque $m \land n = 1$ .

b) (Euclide.) Montrer que si $2^{p} - 1$ est premier, alors $N = 2^{p - 1} (2^{p} - 1)$ est parfait. Vérifier pour $p = 2, 3, 5$ .

c) (Euler.) Réciproquement, soit $N$ un nombre parfait pair, écrit $N = 2^{k} m$ avec $k \geq 1$ et $m$ impair. Montrer que $(2^{k + 1} - 1) σ (m) = 2^{k + 1} m$ , puis que $2^{k + 1} - 1$ divise $m$ . En posant $m = (2^{k + 1} - 1) t$ , montrer que $σ (m) = m + t$ , et en déduire $t = 1$ et $m$ premier. Conclure.

Corrigé de la question 1

La stratégie. La fonction $σ$ se calcule sur la décomposition, et elle est multiplicative sur les entiers premiers entre eux : c'est le a), et il rend le b) immédiat. Le c) est un théorème de classification : on suppose $N$ parfait pair, et l'on montre qu'il a nécessairement la forme d'Euclide, par le lemme de Gauss puis un argument de minimalité sur les diviseurs.

a) La somme des diviseurs. Par unicité de la décomposition en facteurs premiers, les diviseurs positifs de $n$ sont exactement les entiers $\prod_{i} p_{i}^{β_{i}}$ avec $0 \leq β_{i} \leq α_{i}$ pour chaque $i$ , chaque choix des $β_{i}$ donnant un diviseur distinct. En développant le produit $i = 1 \prod r (1 + p_{i} + p_{i}^{2} + \dots + p_{i}^{α_{i}}),$ on obtient la somme de tous les produits $\prod_{i} p_{i}^{β_{i}}$ , chacun une fois : c'est $σ (n)$ . Chaque facteur est une somme géométrique de raison $p_{i} \neq = 1$ : $1 + p_{i} + \dots + p_{i}^{α_{i}} = \frac{p _{i}^{α_{i} + 1} - 1}{p _{i} - 1}$ . D'où la formule.

Multiplicativité. Si $m \land n = 1$ , les premiers qui divisent $m$ et ceux qui divisent $n$ sont deux ensembles disjoints, et la décomposition de $mn$ est la réunion des deux. Le produit de la formule pour $mn$ se scinde donc en le produit pour $m$ fois le produit pour $n$ : $σ (mn) = σ (m) σ (n)$ . En particulier, pour $p$ premier, $σ (p) = p + 1$ , et $σ (2^{k}) = 2^{k + 1} - 1$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) (Euclide.) Montrer que si $2^{p} - 1$ est premier, alors $N = 2^{p - 1} (2^{p} - 1)$ est parfait. Vérifier pour $p = 2, 3, 5$ .

Élève

Pour le b), j'applique $σ (mn) = σ (m) σ (n)$ à $2^{p - 1}$ et $2^{p} - 1$ , qui sont premiers entre eux puisque $2^{p} - 1$ est impair. Mais je ne vois pas encore où sert le fait que $2^{p} - 1$ soit premier.

Calcule séparément les deux facteurs. Quels sont les diviseurs positifs d'une puissance de $2$ , et que sais-tu de la liste des diviseurs d'un nombre premier ?

Élève

Les diviseurs de $2^{p - 1}$ sont les $2^{j}$ pour $0 \leq j \leq p - 1$ , d'où une somme géométrique ; et un premier $q$ n'a que $1$ et $q$ comme diviseurs positifs.

C'est précisément là que sert la primalité. Que donne le produit des deux facteurs comparé à $2 N$ ? Et si $2^{p} - 1$ n'était pas premier, laquelle de tes étapes cesserait d'être valable ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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