Les nombres parfaits pairs : Euclide et Euler

La stratégie. La fonction $\sigma$ se calcule sur la décomposition, et elle est multiplicative sur les entiers premiers entre eux : c'est le a), et il rend le b) immédiat. Le c) est un théorème de classification : on suppose $N$ parfait pair, et l'on montre qu'il a nécessairement la forme d'Euclide, par le lemme de Gauss puis un argument de minimalité sur les diviseurs.

a) La somme des diviseurs. Par unicité de la décomposition en facteurs premiers, les diviseurs positifs de $n$ sont exactement les entiers ${\prod }_i{p}_i^{{\beta }_i}$ avec $0\le {\beta }_i\le {\alpha }_i$ pour chaque $i$, chaque choix des ${\beta }_i$ donnant un diviseur distinct. En développant le produit $$\prod _{i=1}^r\left(1+p_i+p_i^2+\cdots +p_i^{{\alpha }_i}\right),$$ on obtient la somme de tous les produits ${\prod }_i{p}_i^{{\beta }_i}$, chacun une fois : c'est $\sigma (n)$. Chaque facteur est une somme géométrique de raison $p_i\ne 1$ : $1+p_i+\cdots +p_i^{{\alpha }_i}=\frac{p_i^{{\alpha }_i+1}-1}{p_i-1}$. D'où la formule.

Multiplicativité. Si $m\wedge n=1$, les premiers qui divisent $m$ et ceux qui divisent $n$ sont deux ensembles disjoints, et la décomposition de $mn$ est la réunion des deux. Le produit de la formule pour $mn$ se scinde donc en le produit pour $m$ fois le produit pour $n$ : $\sigma (mn)=\sigma (m)\sigma (n)$. En particulier, pour $p$ premier, $\sigma (p)=p+1$, et $\sigma (2^k)=2^{k+1}-1$.

b) Le sens d'Euclide. Soit $q=2^p-1$ premier (donc $p\ge 2$ et $q$ impair) et $N=2^{p-1}q$. Comme $q$ est impair, $2^{p-1}\wedge q=1$, et le a) donne $$\sigma (N)=\sigma \left(2^{p-1}\right)\sigma (q)=\left(2^p-1\right)(q+1)=q\cdot 2^p=2\cdot 2^{p-1}q=2N.$$ $N$ est parfait. Vérification : $p=2$, $q=3$, $N=6=1+2+3$ ; $p=3$, $q=7$, $N=28=1+2+4+7+14$ ; $p=5$, $q=31$, $N=496=1+2+4+8+16+31+62+124+248$. (Attention à $p=11$ : $2^{11}-1=2047=23\times 89$ n'est pas premier, et $N=2^{10}\cdot 2047$ n'est pas parfait : la primalité de $q$ sert exactement dans $\sigma (q)=q+1$.)

c) Le sens d'Euler. Soit $N=2^{k}m$ parfait, $k\ge 1$, $m$ impair. Par multiplicativité ($2^k\wedge m=1$) : $$\sigma (N)=\sigma \left(2^k\right)\sigma (m)=\left(2^{k+1}-1\right)\sigma (m),\text{et}\sigma (N)=2N=2^{k+1}m.$$ D'où $\left(2^{k+1}-1\right)\sigma (m)=2^{k+1}m$.

Gauss. L'entier $2^{k+1}-1$ est impair, donc premier avec $2^{k+1}$ (un diviseur commun serait impair et diviserait une puissance de $2$ : il vaut $1$). Comme $2^{k+1}-1$ divise le produit $2^{k+1}m$, le lemme de Gauss donne $2^{k+1}-1$ divise $m$. Écrivons $m=\left(2^{k+1}-1\right)t$ avec $t\ge 1$.

La somme des diviseurs de $m$. En reportant : $\left(2^{k+1}-1\right)\sigma (m)=2^{k+1}\left(2^{k+1}-1\right)t$, et en simplifiant par $2^{k+1}-1\ne 0$ : $\sigma (m)=2^{k+1}t$. Or $2^{k+1}t=\left(2^{k+1}-1\right)t+t=m+t$. Donc $\sigma (m)=m+t$.

La minimalité. Les entiers $t$ et $m$ sont deux diviseurs de $m$ (car $m=(2^{k+1}-1)t$), et $1$ en est un troisième. Si $t\ne 1$, alors $1<t<m$ (car $2^{k+1}-1\ge 3$), et $1$, $t$, $m$ sont trois diviseurs distincts de $m$ : $\sigma (m)\ge 1+t+m>m+t$, contradiction. Donc $t=1$, $m=2^{k+1}-1$, et $\sigma (m)=m+1$ : les seuls diviseurs positifs de $m$ sont $1$ et $m$, c'est-à-dire que $m$ est premier.

Conclusion. $N=2^k\left(2^{k+1}-1\right)$ avec $2^{k+1}-1$ premier : en posant $p=k+1$, $N=2^{p-1}(2^p-1)$ avec $2^p-1$ premier — et par l'exercice 1, $p$ est alors premier. Les nombres parfaits pairs sont exactement les $2^{p-1}(2^p-1)$ avec $2^p-1$ premier de Mersenne.

Ce que l'exercice installe. Le premier théorème de classification de l'année : une propriété (être parfait pair) caractérise une forme (celle d'Euclide), et la réciproque exige plus que la vérification directe — ici Gauss, puis un argument « trois diviseurs distincts, c'est trop ». La multiplicativité de $\sigma$ est le prototype des fonctions arithmétiques multiplicatives, et l'on a rencontré une question ouverte : personne ne sait s'il existe un nombre parfait impair.