Montrer que si 2ⁿ + 1 est premier, alors n est une puissance de 2. Les…

Stratégie : par contraposée, avec une factorisation. On montre que si $n$ n'est pas une puissance de $2$, alors $2^n+1$ est composé.

a) L'identité utile. Pour $d$ impair, $-1$ est racine de $X^d+1$, d'où la factorisation $$x^d+1=(x+1)\left(x^{d-1}-x^{d-2}+\cdots -x+1\right)$$ (les signes alternent, et le dernier terme vaut $+1$ car $d-1$ est pair).

b) La contraposée. Si $n$ n'est pas une puissance de $2$, sa décomposition contient un premier impair : $n=dm$ avec $d>1$ impair. En posant $x=2^m$ : $$2^n+1={\left(2^m\right)}^d+1=\left(2^m+1\right)\left(2^{m(d-1)}-\cdots +1\right)$$

⚠️ Le point délicat : le facteur trouvé doit être strict. On a $2^m+1\ge 3>1$, et $2^m+1<2^{md}+1=2^n+1$ puisque $d>1$. Le diviseur est donc non trivial : $2^n+1$ est composé. Sans ces deux inégalités, la factorisation ne prouverait rien (tout entier « se factorise » en $1\times n$).

c) Les nombres de Fermat. Les entiers $F_k=2^{2^k}+1$ sont donc les seuls candidats. Les cinq premiers sont premiers : $$F_0=3,F_1=5,F_2=17,F_3=257,F_4=65537$$ Fermat conjectura qu'ils le sont tous. C'est faux : Euler exhiba en 1732 un diviseur de $F_5$, $$F_5=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417$$ $F_5$ n'est donc pas premier.

Contrôle numérique. $641\times 6700417=4294967297=2^{32}+1$ (produit vérifié exactement) ; la primalité de $F_0,\dots ,F_4$ et la non-primalité de $F_5$ ont été testées. Test de la contraposée : $n=6=2\times 3$ donne $2^6+1=65=5\times 13$, où $5=2^2+1$ est bien le facteur annoncé par la construction avec $m=2$, $d=3$.

Ce que l'exercice installe. Une condition nécessaire n'est pas suffisante : $n$ puissance de $2$ ne rend pas $2^n+1$ premier. C'est le pendant exact des nombres de Mersenne ($2^n-1$ premier $\Rightarrow n$ premier, sans réciproque), et l'un des grands démentis de l'histoire des mathématiques.