Résoudre x² ≡ 1 [8].

Stratégie : balayage exhaustif des classes. Modulo $8$, il n'y a que huit classes ; une équation en $x$ se résout donc en essayant tout — méthode ni élégante ni contournable, mais rigoureuse.

a) La table des carrés modulo $8$.

Les solutions de $x^2\equiv 1[8]$ sont donc $$x\equiv 1,3,5,7[8],\text{c’est-aˋ-dire : }x\text{ impair}$$

b) La démonstration directe, qui explique la table. Écrivons $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Si $x$ est impair, $x-1$ et $x+1$ sont deux entiers pairs consécutifs dans la suite des pairs : l'un des deux est divisible par $4$. Leur produit est donc divisible par $2\times 4=8$. Si $x$ est pair, $x^2$ est pair et ne peut être congru à $1$.

⚠️ Le point délicat : $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ n'est pas un corps. Un polynôme de degré $2$ y a quatre racines. L'argument habituel — « $(x-1)(x+1)=0$ donc $x=1$ ou $x=-1$ » — utilise l'intégrité, c'est-à-dire qu'un produit nul a un facteur nul. C'est faux modulo $8$ : $2\times 4\equiv 0$ sans qu'aucun facteur soit nul. Ici $x=3$ donne $(x-1)(x+1)=2\times 4$.

Contrôle numérique. Modulo $8$ : quatre racines $\{1,3,5,7\}$. Modulo $4$ : deux racines $\{1,3\}$. Modulo $7$ (qui est premier, donc $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ est un corps) : exactement deux racines, $\{1,6\}$ — pas une de plus, comme le degré l'exige. Modulo $16$ : à nouveau quatre, $\{1,7,9,15\}$.

Ce que l'exercice installe. « Degré $2$ $\Rightarrow$ au plus $2$ racines » est un théorème de corps, pas d'anneau. Le chapitre suivant nommera la raison : $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est intègre si et seulement si $n$ est premier.