Petit théorème de Fermat

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 7 — Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs · E. Congruences

Énoncé

Déterminer le reste de la division de $2^{2026}$ par $13$ .

Corrigé

$13$ est premier et $13 ∤ 2$ : Fermat donne $2^{12} \equiv 1 [13]$ . Divisons l'exposant par $12$ : $2026 = 12 \times 168 + 10$ , donc $2^{2026} = (2^{12})^{168} \times 2^{10} \equiv 2^{10} = 1024 [13] .$ Enfin $1024 = 78 \times 13 + 10$ : le reste est $10$ .

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