Fermat premier par premier : $42\mid n^7-n$

La stratégie. Le petit théorème de Fermat travaille modulo chaque nombre premier séparément ; la proposition « si $a$ et $b$ sont premiers entre eux et divisent $n$, alors $ab$ divise $n$ » recolle les morceaux — à condition que les modules soient premiers entre eux deux à deux.

Un lemme. Soit $p$ premier et $k\ge 1$ tel que $p-1$ divise $k-1$. Alors $n^k\equiv n[p]$ pour tout entier $n$. En effet, écrivons $k-1=(p-1)j$. Si $p\mid n$, les deux membres sont congrus à $0$. Sinon, par le petit théorème de Fermat, $n^{p-1}\equiv 1[p]$, donc $n^k=n\cdot {\left(n^{p-1}\right)}^j\equiv n\cdot 1=n[p]$.

a) Le cas de $42$. Pour $k=7$, $k-1=6$ est divisible par $p-1$ pour $p=2$ ($1\mid 6$), $p=3$ ($2\mid 6$) et $p=7$ ($6\mid 6$). Le lemme donne $n^7\equiv n$ modulo $2$, modulo $3$ et modulo $7$ : chacun de ces trois premiers divise $n^7-n$. Recollons : $2$ et $3$ sont premiers entre eux et divisent $n^7-n$, donc $6$ le divise ; $6$ et $7$ sont premiers entre eux et le divisent, donc $42$ le divise. $42\mid n^7-n$ pour tout $n$.