Équation diophantienne

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 7 — Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs · C. Entiers premiers entre eux et lemme de Gauss

Énoncé

Résoudre dans $Z^{2}$ l'équation $17 x + 40 y = 5$ .

Corrigé

Comme $17 \land 40 = 1$ divise $5$ , l'équation a des solutions. Du couple de Bézout $17 \times (- 7) + 40 \times 3 = 1$ , on tire (en multipliant par $5$ ) la solution particulière $(x_{0}, y_{0}) = (- 35, 15)$ .

Soit $(x, y)$ une autre solution : par différence, $17 (x + 35) = - 40 (y - 15)$ . Donc $40 ∣ 17 (x + 35)$ ; comme $40 \land 17 = 1$ , le lemme de Gauss donne $40 ∣ x + 35$ , soit $x = - 35 + 40 k$ , puis $y = 15 - 17 k$ : $(x, y) = (- 35 + 40 k, 15 - 17 k), k \in Z .$

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