Équation diophantienne

Comme $17\wedge 40=1$ divise $5$, l'équation a des solutions. Du couple de Bézout $17\times (-7)+40\times 3=1$, on tire (en multipliant par $5$) la solution particulière $(x_0,y_0)=(-35,15)$.

Soit $(x,y)$ une autre solution : par différence, $17(x+35)=-40(y-15)$. Donc $40\mid 17(x+35)$ ; comme $40\wedge 17=1$, le lemme de Gauss donne $40\mid x+35$, soit $x=-35+40k$, puis $y=15-17k$ : $$(x,y)=(-35+40k,15-17k),k\in \mathbb{Z}.$$