Gauss et les racines : entier ou irrationnel

La stratégie. Tout repose sur le lemme de Gauss et sur sa conséquence « premiers entre eux avec $n$, donc le produit l'est aussi », qui propage la primalité relative aux puissances. La forme irréductible d'un rationnel fait le reste : un rationnel $\frac{p}{q}$ irréductible dont le dénominateur divise $1$ est un entier.

a) La primalité relative passe aux puissances. Montrons d'abord par récurrence sur $k$ que $a\wedge b^k=1$. Pour $k=0$, $b^0=1$ et $a\wedge 1=1$. Si $a\wedge b^k=1$, alors, comme $a\wedge b=1$ aussi, la proposition du cours « si $b$ et $b^k$ sont premiers avec $a$, alors $b\cdot b^k$ est premier avec $a$ » donne $a\wedge b^{k+1}=1$. Ainsi $a\wedge b^k=1$ pour tout $k$. En échangeant les rôles — $b^k$ est premier avec $a$, donc, par le même argument, avec $a^j$ pour tout $j$ — on obtient $a^j\wedge b^k=1$.

b) Diviser des puissances. Posons $d=a\wedge b$ et écrivons $a=d{a}^{\prime }$, $b=d{b}^{\prime }$ avec $a^{\prime }\wedge b^{\prime }=1$ (on divise par le PGCD). L'hypothèse $a^k\mid b^k$ s'écrit $d^k{a}^{\prime k}\mid d^k{b}^{\prime k}$, et en simplifiant par $d^k\ne 0$ : $a^{\prime k}\mid b^{\prime k}$. Or $a^{\prime k}\wedge b^{\prime k}=1$ par le a). Un entier qui divise $b^{\prime k}$ et qui est premier avec $b^{\prime k}$ divise leur PGCD, qui vaut $1$ : $a^{\prime k}=1$, donc $a^{\prime }=1$, donc $a=d$. Et $d$ divise $b$ : $a\mid b$.

c) Racines $k$-ièmes. Supposons $\sqrt[k]{n}$ rationnel, et écrivons-le sous forme irréductible $\frac{p}{q}$ avec $p,q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $p\wedge q=1$ (il est strictement positif). Alors $n=\frac{p^k}{q^k}$, soit $n{q}^k=p^k$ : $q^k$ divise $p^k$. Par le b), $q$ divise $p$. Mais $q\wedge p=1$ : un diviseur commun de $p$ et $q$ divise $1$, donc $q=1$, et $\sqrt[k]{n}=p$ est un entier. $\sqrt[k]{n}$ est un entier ou un irrationnel — jamais un rationnel non entier. Ainsi $\sqrt{2}$ est irrationnel ($1<\sqrt{2}<2$, pas un entier) ; $\sqrt[3]{2}$ aussi ($1<\sqrt[3]{2}<2$) ; $\sqrt{12}$ aussi ($3<\sqrt{12}<4$). Toutes les preuves d'irrationalité de racines tiennent dans cet énoncé unique.

d) Les racines rationnelles d'un polynôme. Écrivons $P\left(\frac{p}{q}\right)=0$ et multiplions par $q^d$ : $$a_d{p}^d+a_{d-1}{p}^{d-1}q+\cdots +a_{1}p{q}^{d-1}+a_0{q}^d=0.$$ $p$ divise $a_0$. Tous les termes sauf le dernier contiennent le facteur $p$ ; donc $p$ divise $a_0{q}^d$. Or $p\wedge q^d=1$ par le a) (avec $j=1$) : le lemme de Gauss donne $p\mid a_0$.

$q$ divise $a_d$. Tous les termes sauf le premier contiennent le facteur $q$ ; donc $q\mid a_d{p}^d$, et $q\wedge p^d=1$ : Gauss donne $q\mid a_d$. Toute racine rationnelle $\frac{p}{q}$ de $P$ a un numérateur qui divise le coefficient constant et un dénominateur qui divise le coefficient dominant. (Le c) en est le cas $P=X^k-n$ : $q\mid 1$.)

Application. Posons $x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$. Alors $x^2=5+2\sqrt{6}$, donc $x^2-5=2\sqrt{6}$ et $(x^2-5{)}^2=24$, soit $x^4-10x^2+1=0$ : $x$ est racine de $P=X^4-10X^2+1$. Si $x$ était rationnel, son numérateur diviserait $1$ et son dénominateur diviserait $1$ : $x=\pm 1$. Or $P(\pm 1)=1-10+1=-8\ne 0$. Donc $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ est irrationnel — sans aucun calcul sur $\sqrt{2}$ et $\sqrt{3}$ séparément.

Ce que l'exercice installe. Le lemme de Gauss est l'outil qui simplifie dans les divisibilités, et il se propage aux puissances sans effort. Le théorème des racines rationnelles transforme une question d'analyse (ce nombre est-il rationnel ?) en une liste finie de candidats à tester — c'est ainsi qu'on cherchera les racines évidentes au chapitre des polynômes.