Vérifier que 6, 10 et 15 sont premiers entre eux dans leur ensemble…

Exercice classique · niveau 2 · mathématiques MPSI, chapitre 7 — Arithmétique dans l'ensemble des entiers relatifs · C. Entiers premiers entre eux et lemme de Gauss

Énoncé

Vérifier que $6$ , $10$ et $15$ sont premiers entre eux dans leur ensemble mais pas deux à deux. Trouver trois autres entiers ayant cette propriété.

Corrigé

Stratégie : séparer deux énoncés que le langage confond. « Premiers entre eux dans leur ensemble » signifie $a \land b \land c = 1$ ; « premiers entre eux deux à deux » signifie $a \land b = b \land c = a \land c = 1$ . La seconde condition entraîne la première ; l'exercice montre que la réciproque est fausse.

a) Les trois PGCD deux à deux. $6 \land 10 = 2, 6 \land 15 = 3, 10 \land 15 = 5$ Aucun des trois ne vaut $1$ : les entiers $6$ , $10$ , $15$ ne sont deux à deux premiers entre eux à aucun endroit.

b) Le PGCD des trois. $(6 \land 10) \land 15 = 2 \land 15 = 1$ . Autrement dit, un diviseur commun aux trois devrait diviser $2$ et $15$ : il vaut $1$ . Donc $6 \land 10 \land 15 = 1$ : ils sont premiers entre eux dans leur ensemble.

⚠️ Le point délicat : ce contre-exemple interdit une erreur très fréquente. Le lemme de Gauss et le théorème « si $a ∣ n$ , $b ∣ n$ et $a \land b = 1$ alors $ab ∣ n$ » réclament la primalité deux à deux. Ici $6$ , $10$ et $15$ divisent tous $n = 30$ , ils sont premiers entre eux dans leur ensemble, et pourtant $6 \times 10 \times 15 = 900$ ne divise pas $30$ .

c) Comment en fabriquer d'autres. Il suffit de prendre trois premiers distincts $p, q, r$ et de poser $a = pq$ , $b = q r$ , $c = p r$ : chaque paire partage un premier (donc aucun PGCD deux à deux ne vaut $1$ ), mais aucun premier n'est commun aux trois. Avec $p, q, r = 3, 5, 7$ : $15 \land 21 = 3, 15 \land 35 = 5, 21 \land 35 = 7, 15 \land 21 \land 35 = 1$

Contrôle numérique. Le triplet $(10, 12, 15)$ marche aussi : $10 \land 12 = 2$ , $10 \land 15 = 5$ , $12 \land 15 = 3$ , et le PGCD des trois vaut $1$ .

Ce que l'exercice installe. Le PGCD d'une famille se lit premier par premier : $v_{p} (a \land b \land c) = min (v_{p} (a), v_{p} (b), v_{p} (c))$ . Il vaut $1$ dès qu'aucun premier n'est présent partout — ce qui n'empêche nullement les premiers de se partager les paires.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.